Unterschiedliche Arten zur Berechnung des Orientierten Flächeninhalts?
Hey, wir hatten im Matheunterricht Beispiele zur Berechnung von dem orientierten Flächeninhalt in einem bestimmten Intervall, allerdings zwei verschiedene Wege, es zu berechnen. Zu mindest dachte ich, dass wir in beiden Aufgaben das selbe berechnen, allerdings gibt es anscheinend einen Unterschied. Was ist der Unterschied in der Aufgabenstellung von Aufgabe 1 und Aufgabe 2 (siehe unten)? Wann nutze ich das eine, wann das andere?
2 Antworten
Orientierter Flächeninhalt bedeutet, dass man im betrachteten Intervall nicht darauf achtet, ob die Fläche über oder unter der x-Achse liegt, d. h. man integriert komplett durch von oberer zu unterer Grenze, d. h. negative Flächen werden "automatisch" von positiven abgezogen.
Im ersten Beispiel wird das in "klassischer" Art gemacht: integrieren und dann einfach obere minus untere Grenze rechnen.
Im zweiten Beispiel handelt es sich um eine Integralfunktion, dabei heißt dann F1, dass die Integrationskonstante C der Stammfunktion von f so gewählt wird, dass F(1)=0 gilt, entsprechend würde F7 bedeuten, F(7)=0. D. h. die Integralfunktion F1(x) gibt die Fläche von der unteren Grenze 1 bis zur oberen Grenze x wider, als würdest Du also F(x)-F(1) ausrechnen.
F1(0) würde dann entsprechend bedeuten, Du integrierst von unterer Grenze 1 bis zur oberen Grenze 0, also F(0)-F(1)=2,5-0=2,5 [f(x)=x-3 liegt in diesem Bereich unter der x-Achse, da aber die obere Grenze (0) kleiner ist als die untere (1), dreht das Vorzeichen der Fläche].
Also wenn Du eine Funktion f gegeben hast und sollst den orientierten Flächeninhalt (oder einfach nur "das Integral" - das ist dasselbe) in den Grenzen a und b berechnen, dann wird höchstwahrscheinlich jeder einfach f integrieren und dann F(b)-F(a) rechnen und nicht zuerst die Integralfunktion F_a ausrechnen, um dann F_a(b) zu bestimmen. Das ist eigentlich der übliche Weg - ich bin mir auch gar nicht sicher, ob ich selbst "damals" in der Schule mit Integralfunktionen zu tun hatte...
Evtl. würde man eher mit der Integralfunktion rechnen, wenn man mehrere Integrale mit derselben Untergrenze rechnen muss, aber auch das ist kein Muss, es sei denn die Aufgabenstellung verlangt es. Bei "sehr vielen" Intervallen mit derselben Untergrenze wäre man über die Integralfunktion sicher schneller fertig und die Gefahr sich bei den Differenzen F(b)-F(a) zu verrechnen fiele weg.
thinking ...
Erst mal vielen Dank, aber ich habe irgendwie noch nicht richtig verstanden, wann ich welche Variante anwende. Was muss in der Aufgabenstellung gegeben sein, dass mir sagt, ob ich Variante 1 oder 2 nehme? Oder ist das mir überlassen?