Unterschied zwischen Lineares Wachstum/Abnahme und dem Exponentiellen Wachstum/Abnahme?
Ich schreibe am Dienstag eine Mathearbeit (10.Klasse Gymnasium). Wir haben zur Zeit das Thema "Lineares Wachstum/Abnahme und Exponentiellen Wachstum/Abnahme". Ich verstehe nicht ganz, wie man alles auseinander halten kann. Also was jz Lineares Wachstum ist oder Abnahme oder doch Exponentielles Wachstum oder Abnahme etc. Habe auch schon im Internet gesucht bzw auch auf YouTube Videos angeschaut, aber verstehe es iwie immer noch nicht. Daher meine Frage, ob ihr mir vielleicht den Unterschied zwischen allen Arten sagen könntet &' vielleicht die dazugehörige Formel? Ich wäre euch sehr dankbar.:3
3 Antworten
Beim linearen Wachstum (der Graph ist eine Gerade) nimmt die Funktion bei gleichem x-Zuwachs um den gleichen y-Anteil zu. Beispiel: Wenn du mit dem Taxi fährst, musst du für jeden km mehr einen festen Betrag mehr bezahlen (km-Preis)
Formel (y2-y1)/(x2 - x1) Das ist die Steigung der Geraden m. Im Beispiel würdest du zwei Fahrkosten subtrahieren und durch die Differenz der zugehörigen Fahrstrecken teilen. Negatives Wachstum erhältst du, wenn der 2. y-Wert kleiner als der erste ist und sich auch hier immer der gleiche Wert der Steigung m (jetzt kleiner null) ergibt.
Exponentielles Wachstum: Bei gleichem x-Zuwachs wird hier mit dem gleichen Faktor multipliziert. Beispiel: legst du Geld auf der Bank mit 2% Zinsen an, hast du nach einem Jahr das 1,02 fache (Deine 100 % plus 2% Zinsen). Im zweiten Jahr wird dieser Wert (nicht der Anfangswert) wieder mit 1,02 multipliziert. Formel "mal 1,02 hoch x. Bei exponetiellem Wachstum gibt es eine Kurve, die immer steiler wird.
Abnahme ergibt sich hier, wenn der Faktor kleiner 1 ist (z.B. 0,98) oder im Exponenten ein - steht, aber negative Exponenten sind ein extra Thema, weiß nicht, ob ihr das braucht.
Geh mal von 100 Euro aus. Nach einem Jahr hast du 100·1,02 = 102 Euro. Nach zwei Jahren hast du 102·1,02 = 104,04 Euro = 100·(1,02)², und nicht 100² = 10000 (wäre schön)...
Ja, und wenn der Faktor kleiner 1 ist exponentielle Abnahme. Wichtig ist Multiplikation mit einem bestimmten Faktor.
Unterschied zwischen Lineares und Exponentielles Wachstum
Lineares Wachstum
Ein Beispiel: Ein See ist 600 m² groß. Jede Woche schaffen Bagger 350m² neue Fläche dazu.
Du hast die Fläche vom See gegeben (600 m²). Jetzt kommt konstant jede Woche die gleiche Fläche dazu. Daher handelt es sich um eine Lineare Funktion. Bei einer Linearen Funktion wächst etwas konstant immer gleich.
Die Funktionsgleichung dazu lautet: f(x) = 350 x + 600
Du könntest dazu eine Wertetabelle erstellen:
Zeit / Wochen Fläche des See / m ^2
0 600
1 950
2 1300
3 1650
Dabei sollte dir auffallen, dass die Fläche immer um die gleiche Zahl zunimmt. In diesem Fall steigt es immer um 350
Nehmen wir mal die ersten beiden Zahlen von den x - Wert (Zeit) 0 und 1. Außerdem die dazugehörigen y - Werte (Fläche) 600 und 950. Jetzt musst du, weil es linear ist, folgendes rechnen
950 - 600 = 350 --> Wachstumsrate (Steigung m)
Die Funktionswerte (also y-Werte) nehmen also immer mit einer konstanten Wachstumsrate (also der Steigung m) zu.
Exponentielles Wachstum
Ein Beispiel: Eine Wasserrose bedeckt zu Beginn eine Fläche von 80 m ^2. Jede Woche vergrößert sich die Fläche um das doppelt
Funktionsgleichung: f(x) = 80 * 2 ^x
Du könntest dazu eine Wertetabelle erstellen:
Zeit / Wochen Fläche des See / m ^2
0 80
1 160
2 320
3 640
Hier wächst es nicht konstant um eine bestimmte Zahl, sondern die y-Werte werden immer verdoppelt (mit 2 multipliziert)
Du kannst dir zu dem Thema ja auch mal Videos auf YouTube ansehen. Schau mal bei dem YouTuber TheSimpleMath oder so
Linear wächst eine Funktion, wenn der x-Wert und der y-Wert in einem bestimmten gleichen Verhältnis wächst oder abnimmt. (z.B. y=x)
x=0, y=0
x=1, y=1
x=2, y=2
...
Exponential ist die Funktion dann, wenn ein Wert (z.B. der y-Wert) schneller oder langsamer ansteigt/abfällt als der andere (z.B. y=x² )
x=0, y=0²=0
x=1, y=1²=1
x=2, y=2²=4
x=3, y=3²=9
Zeichne dir die Linien bzw. Kurven in ein Koordinatensystem, dann siehst du den Unterschied. Lineares Wachstum ergibt eine Linie, exponentielles Wachstum ergibt eine Kurve.
Also auf dein Beispiel zurück zu kommen. Wenn man dann die 1.02 hat, z.B. Nach 5Jahren, macht man einfach 1.02^5? Aber wieso nimmt man dann nicht den anfangswert hoch 5? Also wieso muss man erst das eine Rechnen und dann ^5 zu nehmen? (Sorry ich weiß dumme Frage, aber ich versteh das Thema echt nicht..)