Unterschied zwischen Differenzen- und Differentialquotient?
ich würde mich sehr auf eine NICHT komplizierte Erklärung freuen:)
3 Antworten
Kurz:
Differenzenquotient = mittlere Änderung; Differentialquotient = momentane Änderung
Genauer:
Der Differenzenquotient gibt quasi wie der Name schon sagt die Differenz zwischen etwas an. Sprich, das ist die mittlere Änderung, wie sie auch genannt wird. Häufig findest du als Synonym auch die Steigung der Sekante.
Diese 3 Begriffe musst du gut miteinander verknüpfen: Differenzenquotient - Mittlere Änderung - Steigung der Sekante
Vorstellen kannst du dir die mittlere Änderung z.B. so: du rechnest dir die Durchschnittsgeschwindigkeit der Funktion f(x) = 3x + 2 in einem bestimmten Intervall aus. Sagen wir mal zwischen 5 und 8 Sekunden, also im Intervall [5;8].
Ausrechnen tut man sie so: f(b)-f(a) dividiert durch b-a; beziehst du das auf unser Beispiel, entspricht b der 8 und a der 5.
Also man rechnet die gleich wie die allgemeine mittlere Änderung aus, die man vor diesem Thema lernt.
Der Differentialquotient wird auch als Ableitung einer Funktion bezeichnet und ist die momentane Änderung. Wenn wir uns wieder auf die Geschwindigkeit bezieht, ist das also die momentane Geschwindigkeit zu einer bestimmten Sekunde, die du ausrechnest.
Ein weiteres Synonym ist Steigung der Tangente. Also diese 3 Begriffe miteinander verknüpfen, wirst du noch brauchen: Differentialquotient - momentane Änderung - Steigung der Tangente.
Ableiten ist eigentlich ganz einfach, ich gebe als Beispiel mal die Summenregel an, die man als Erstes lernt.
Du hast z.B. die Funktion f(x) = 5x^2 (das ^2 bezeichnet "hoch 2")
Wenn du davon die Ableitung machst, wird das so geschrieben: f'(x) = 10x
Was ich gemacht habe? Du multiplizierst ganz einfach die Hochzahl nach vorne zur 5, ergibt 10. Dann ziehst du von der Hochzahl 1 ab, dann bleibt in diesem Fall hoch 1 über, was du aber nicht schreiben musst. Fertig!
Würde jetzt z.B. 5x^3 stehen, wäre die Ableitung: f'(x) = 15x^2 (3 vormultiplizieren, bei der Hochzahl eines abziehen)
Ich hoffe, das war verständlich genug!
Bei weiteren Fragen stehe ich gerne zur Verfügung.
Ein herzliches Dankeschön, dass Sie mir so geholfen und auch die Zeit gespart haben! Nur eine kleine Frage noch: also um die Steigung einer quadratischen Funktion zu bestimmen, sollte man den Differentialquotienten anwenden? Und mit dem Differenzialquotien würde es auch gehen, aber halt ungenau, richtig? Danke nochmal!
Kein Problem! Kein Grund mich auf Sie anzusprechen, ich bin selbst erst in der 10. Schulstufe. ;D Du kannst bei du bleiben. :)
Das kommt darauf an, ob du eben ein Beispiel mit Sekante oder Tangente gegeben hast. Oft kommt ein Beispiel einer Quadratischen Gleichung und du solltest (um wieder auf die Geschwindigkeit zu gehen) z.B. die Steigung der Tangente zu einem gewissen Zeitpunkt berechnen. Der Zeitpunkt ist angegeben.
Sobald das Wort Tangente fällt, brauchst du zum Rechnen den Differentialquotienten.
Umgekehrt: wenn du die Steigung der Sekante in einem gewissen Zeitintervall berechnen sollst, dann brauchst du die Rechnung mit dem Differenzenquotienten.
https://www.youtube.com/watch?v=6HDhATXNCGU
Dieses Video beschreibt das ansonsten auch gut. Die Jungs von TheSimpleMaths haben's total drauf! Bei deren Kanal kannst du sonst stöbern, die erklären alles ziemlich gut
Ohne genauer drüber nachzudenken, würde ich ja sagen, es ist der Übergang von finitesimal nach infinitesimal.
Ich müßte mir aber jetzt nochmal die formalen Definitionen anschauen, um ganz sicher zu sein.
Ein herzliches Dankeschön, dass Sie mir so geholfen und auch die Zeit gespart haben! Nur eine kleine Frage noch: also um die Steigung einer quadratischen Funktion zu bestimmen, sollte man den Differentialquotienten anwenden? Und mit dem Differenzenquotienten würde es auch gehen, aber halt ungenau, richtig? Danke nochmal! *