Umkehrfunktion von einer Funktion mit dem natürlichen Logarithmus?
Ich bin mir inzwischen sicher, dass ich das Prinzip der Umkehrfunktionen verstehe. Jedoch bin ich dann stark verwirrt bei den Umkehrfunktionen der Logarithmusfunktionen, wie gehen die? Z.B f(x)= ln x + 3 f(x)= ln (x+4) f(x)= 5 . ln x ( Der Punkt ist ein Malzeichen) f(x)= ln (2x)
Bei solchen bin ich nur noch verwirrt was das Umformen zu einer Exponentialfunktion angeht...
4 Antworten
Hallo,
vertausche zunächst x und y (y=f(x)):
x=ln (y)+3
und löse nach y auf:
ln (y)=x-3
Da ln (y) die Zahl ist, mit der Du e potenzieren mußt, um y zu erhalten, kannst Du beide Seiten zu Exponenten von e machen:
e^(ln(y))=e^(x-3)
e^(ln(y))=y, daher:
y=e^(x-3) oder f(x)=e^(x-3)
Analog gehst Du bei den anderen Aufgaben vor.
Herzliche Grüße,
Willy
Sollte f(x)=ln(x+3) gemeint sein, rechnest Du:
x=ln(y+3)
e^x=y+3
y=e^x-3
Willy
Erst mal Schritt für Schritt.
Bei f(x)=y=ln(x)+3
-> y-3=ln(x)
->e^(y-3)=e^(ln(x))=x
(Dass die rechte Seiten sich zu x vereinfacht, ist einfach so. Merk dirs einfach.)
Da haste deine erste Umkehrfunktion: x(y)=e^(y-3)
bei y=ln(x+4)
->e^y=e^(ln(x+4))=x+4
->x=e^y-4
bei y=5*ln(x)
->y/5=ln(x)
->e^(y/5)=x
bei y=ln(2x)
->e^y=2x
->x=(e^y)/2
Im Prinzip guckste immer, dass Alles logarithmische auf einer Seite steht, nutzt notfalls logarithmusgesetze um mehrere logarithmen zu einem zusammenzufassen.
Dann beide Seiten potenzieren.
Das Prinzip funktioniert übrigens nicht nur bei e und ln sondern auch bei jeder anderen Potenz und ihrem logarithmus :-)
Für Umkehrfunktionen vertauscht du immer x und f(x) (bzw. schreibst statt f(x) dann f⁻¹(x)) und löst dann nach f(x) auf.
Beispiel: f(x) = x² + 3, dann ist x = (f⁻¹(x))² + 3 ⇔ f⁻¹(x) = √(x - 3)
Das geht nun auch bei deiner Funktion:
f(x) = ln(x) + 3 ⇒ x = ln(f⁻¹(x)) + 3 ⇔ f⁻¹(x) = e^(x - 3)
Merk dir immer: Der ln und e^ heben sich auf, das sind selbst Umkehrfunktionen zueinander.
Wenn du also irgendwas aus dem Exponenten einer e-Funktion bringen möchtest, dann bildest du denn ln davon, wenn du etwas aus dem ln bringen möchtest, setzt du es in den Exponenten einer e-Funktion.
f(x) = ln(x + 4) ⇒ x = ln(f⁻¹(x) + 4) ⇔ f⁻¹(x) = e^x - 4
Das ist der ganze Zauber, eigentlich kein Hexenwerk. ;)
LG Willibergi
y = ln(x) + 3
y - 3 = ln(x) | exp(...)
x = e ^ (y - 3)
bzw., wenn du das als neue Funktion y(x) etablieren willst, dann vertauschst du x und y noch miteinander -->
y = e ^ (x - 3)