Logarithmen berechnen (ohne Taschenrechner)
Wie ist es möglich den Logarithmus einer Zahl (gemeint ist "ln" / log auch hilfreich) ohne Taschenrechner zu berechnen?
z.B.: 2 ^ x = 64 --> x = ln(64) / (ln2) oder x = log(64) / log(2)
1.) Warum? (Umformen?)
2.) Wie kann man z.B. ln(64) OHNE Taschenrechner berechnen (Rechenweg)
3.) Was ist die "Umkehrfunktion" von ln/log? ( 2,718 ~ e | ln(e) = 1 --> Was mit 1 "angestellt" ergibt wieder e?)
Danke im Voraus Mfg. Ich
7 Antworten
2)Ohne Taschenrechner eben durch einsetzen in x
2^x=64
x=6, weil 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2=64
Wenn du ln64 berechnen willst, musst du wissen, dass ln für den Logarithmus zur Basis e steht. Also e^x=64. Das halte ich für ne Fleißarbeit durch sinnvolles ausprobieren und eigentlich für völlig unmöglich, es sei denn du hast ne Tabelle. So machte man das früher, bevor es Taschenrechner gab.
1) Warum du das umformen sollst bei genau DIESER Aufgabe ist mir auch unklar. Dass x=6 sein muss, sieht man ja sofort. ABER: Nicht immer sieht man das sofort, dann ist es schon ganz praktisch, wenn man es so umformt, dass man es shcnell in den Taschenrechner eingeben kann.
3) Umkehrfunktion von ln ist e^x und Umkehrfunktion von log ist 10^x
Vielleicht hilft dir das noch: http://www.youtube.com/watch?v=DFcFnGQpTN4
Ein Logarithmus ist nicht anderes als ein Exponent (Hochzahl). Diesen im Kopf auszurechnen, das ist (wie bei Wurzeln) nur bei ganz bestimmten Zahlen möglich, die man sich germerkt hat.
x = log(2)64
Ich habe eine andere Schreibweise verwendet, um die normalerweise tiefgelegte Basis auch hinschreiben zu können.
Man liest es: x ist der Logarithmus von 64 zur Basis 2.
Wenn du das so vorfindest, ist es meist besser, es in eine Potenz umzuformen. Wie das geht, sagt der Satz aus.
2 ist die Basis
x ist der Logarithmus
64 ist das Ergebnis
Daher: 2 ^ x = 64
Das kann man im Kopf rechnen, denn man braucht nur mitzuzählen, wie oft man 2 mit sich selbst multiplizieren kann, nämlich 6 mal. Also ist
2 ^ 6 = 64 oder
log(2)64 = 6
Vieiieicht solltest du dir dies mal angucken::
Das ist trivial. Der Fragesteller möchte aber log(e)64 ohne Taschenrechner ausrechnen und das ist nicht trivial. Hierzu eigenen sich am besten Reihen, aber muss die Taylor-Reihen von log(1+x) und log(1-x) geschickt kombinieren um eine schnell konvergente Reihe zu bekommen (siehe hierzu meine Antwort).
A. Die Gleichung 2^x = 64 lässt sich im Kopf lösen, wie Volens das vormacht.
B. Die Umformung 2^x = 64 ⇒ x = ln(64) / ln (2) ist möglich, aber unnötig umständlich.
C. Weg der (überflüssige, s.o. A. und B.) Umformung:
2^x = 64; | ln
ln (2^x ) = x * ln(2) = ln (64); | : ln(2) ≠ 0
x = ln(64) / ln (2).
D. Die Berechnung von ln(64) ist nur näherungsweise möglich (und zur Lösung der Aufgabe 2^x = 64 nicht zielführend, weil es einfach er geht, s. o. A.). Ich prüfte das Verfahren Rowals daher nicht.
E. ln(e) = 1 ⇔ e^(ln(e)) = e = e^1
- Die Umkehrfunktion zum ln ist die natürliche Exponentialfunktion;
- die zu "Logarithmieren zur Basis a" entgegengesetzte Umformung ist "Potenzieren mit Basis a", inbesondere ist
- die zu "Logarithmieren zur Basis e" = "den natürlichen Logarithmus nehmen" entgegengesetzte Umformung "Potenzieren mit Basis e".
Zweifellos richtig. Aber die Fragestellung ist, wenn ich sie richtig verstanden habe: Wie berechnet man x mit z.B. 2^x = 65 auf mehrere Dezimalstellen genau ohne die Verwendung von Rechenmaschinen? Das naheliegende Iterationsverfahren ist unpraktikabel wg. der aufwendigen Wurzelberechnungen, wenn x ein größerer Bruch ist. Folglich ist man doch darauf angewiesen effizient den Wert [log(5) + log(13)] / log(2) zu berechnen. Hierzu benötigt man ein schnell konvergentes Verfahren, um die Logarithmen mit Reihen zu berechnen, wo im Zähler möglichst 1 steht oder eine kleine Zahl und im Nenner nur natürliche Zahlen und ausserdem benötigt man ein geeignetes Verfahren um Kehrwerte zu berechnen (ein modifiziertes Newton-Verfahren), denn das gewöhnliche Divisionsverfahren wird aufwendig, wenn der Nenner sehr groß wird (Euler hat bei seinen Berechnungen immerhin 25 Dezimalstellen angegeben).
Es ist
ln(64)=12 * ( 1/(1 * 5) + 1/(3 * 5^3) + 1/(5 * 5^5) + 1/(7 * 5^7) + ...
+ 1/(1 * 7) + 1/(3 * 7^3) + 1/(5 * 7^5) + 1/(7 * 7^7) + ...)
Nimmt man nur diese angeschriebenen Glieder, so erhält man 4,15888... Alle angegebenen Stellen sind genau. Will man eine höhere Genauigkeit, muss man mehr Glieder berechnen. Die Reihe konvergiert recht schnell.
Im Prinzip richtig. Doch erstens ist Euler, der als erster die erforderlichen Formeln aufgestellt hat, einen anderen Weg für die Herleitung gegangen und zweitens muss man die Formeln geschickt kombinieren, um zu Reihen zu kommen, die auch für die manuelle Berechnung geeignet sind.
Ich skizziere das hier kurz. Dies spiegelt auch ein Stück Geschichte der Mathematik wieder:
Euler ging ging von dem Binomialsatz
a^(Ωω)=(1+kω)^ Ω = 1 + Ω / 1 * kω + Ω(Ω-1) / (1 * 2) k^2 ω^2 + Ω(Ω-1) (Ω-2) / (1 * 2 * 3) k^3 ω^3 + …. aus. Ω denkt man sich als große Zahl (Euler schrieb dafür i aber wg. der Verwechslung mit der imaginären Einheit verwende ich Ω), und ω denkt man sich als kleine Zahl. Euler setzt nun (1+kω)^ Ω = 1 + x und läßt zunächst x fest. Er läßt ω gegen 0 gehen und damit geht Ω gegen unendlich. Euler spricht dabei von ω von einer unendlich kleinen Zahl und Ω von einer unendlich großen Zahl. Er erhält (die Rechnung übergehe ich jetzt): log(1+x)= 1/k * (x/1 – x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 +- … und a = 1 + k/1 +k^2/(1 * 2) + k^3/(1 * 2 * 3) + ….
Dabei ist die Basis des Logarithmus gleich a. Nun wählt er die Basis a so, dass die Reihe für den Logarithmus möglichst einfach wird. Dies ist der Fall für k=1. Die Basis a ist dann a= 1 + 1/1 + 1/(1 * 2) + 1/(1 * 2 * 3) + … Für diese Zahl wird der Kürze halber e geschrieben (die später Eulersche Zahl genannt wurde). Mit dieser Basis wird log(1+x)= x/1 – x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 +- … oder log(1-x)= - (x/1 + x^2/2 + x^3/3 + x^4/4 +- …)
Kombiniert: log[(1+x)/(1-x)] = log(1+x) – log(1-x) = 2 * (x + x^3/3 + x^5/5 + x^7/7 + …)
Mit diesem Ergebnis lassen sich nun stark konvergente Reihen für die Logarithmen der natürliche Zahlen ableiten. Dabei genügt es wg. log(xy)=log(x)+log(y) die Logarithmen von Primzahlen zu errechnen.
Setzt man x=1/5 erhält man: log(6/4)=log(3/2)= 2/( 1 * 5) + 2/(3 * 5^3) + 2/(5 * 5^5) + … Und für x=1/7 erhält man log(4/3)= 2/(1 * 7) + 2/(3 * 7^3) + 2/(7 * 7^5) + … Und man kombiniert man wieder log(3/2) + log(4/3) = log(2)
Die Primfaktorzerlegung von 64 ergibt log(64)=6 *log(2) und so erhält man die angegeben Reihe.
2^x = 64 \ Jetzt auf beiden Seiten logarithmieren
log(2^x) = log(64) \Jetzt das 3. Logarithmengesetz anwenden [ log(a^p) = p*log(a) ]
x*log(2) = log(64) \Jetzt nach x umformen
x = log(64)/log(2)
Cool das interessiert mich nun auch. Wie kommst du auf die Zahlen? Wie bildet sich diese Reihe?