Taylor-Polynom?

Kann mir jemand erklären wie ich die Aufgabe rechnen soll, mich verwirrt das (f(x)) in der Sinus Funktion

Aufgabe:

Lösung:

Answer 1

[TBDRM]

Das erste Glied im Taylorpolynom ist klar (Entwicklungsstelle x_0 = 0).

f(0) = π / 2

Nun zur ersten Ableitung, für die ja gilt

f'(x) = x + sin(f(x))

und somit

f'(0) = 0 + sin(f(0)) = sin(π / 2) = 1

Höhere Ableitungen gewinnst du dann durch differenzieren, also

f'(x) = x + sin(f(x))

=> f"(x) = 1 + cos(f(x)) f'(x)

und damit f"(0) = 1

sowie für die dritte Ableitung

f"(x) = 1 + cos(f(x)) f'(x)

=> f"'(x) = –sin(f(x)) f'(x)² + cos(f(x)) f"(x)

und damit f"'(0) = –1.

Das in die Formel für Taylorpolynome einsetzen und fertig.

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Answer 2

[evtldocha]

mich verwirrt das (f(x)) in der Sinus Funktion

Was verwirrt Dich daran?

Wenn da stünde

$\sin\left(25x^3+14x^2+17\right)$

wärst Du dann genauso verwirrt? Wenn nicht, dann wäre in dem Bespiel oben:

$f(x)=25x^3+14x^2+17$

Oder anders: sin(f(x)) ist eine Verallgemeinerung für eine beliebige Funktion f(x) im Argument des Sinus.

Comments

[eterneladam]

Ich kann selbstverständlich nicht für den Fragesteller sprechen, denke aber, dass es verwirrend ist, dass man die Taylor-Reihe ohne explizite Darstellung der Funktion berechnen soll.