Bei dem rot markierten Term hätte b_3 statt b_2 stehen müssen.
Tauscht du das auf der nächsten Seite auch noch, ist tatsächlich i = a_2 b_3 c_3.
Und nur so als Tipp, falls du es schon hattest, nutz die Tensorrechnung.
Mit der Substitution u = √(1+x) erhälst du
du/dx = 1/(2 √(1+x²)) = 1/(2 u) => dx = 2 u du
und x = u²–1, wobei u≥0 sein muss.
Setzt du dann die Ausdrücke für dx und x sowie √(1+x) ein, erhälst du
Allerdings steht zum Anfang nicht √(1+x), sondern √(1+x²) im Nenner des Integranden. Hier biete sich die Substitution
x = sinh(u) => dx = cosh(u) du
an, denn sinh²(u) + 1 = cosh²(u). Damit folgt:
Dieses Integral lässt sich dann mit partieller Integration lösen, nämlich so:
I = Int{ sinh²(u) }du
I = Int{ sinh(u) • sinh(u) }du
I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ cosh(u) • cosh(u) }du
I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ cosh²(u) }du
I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ 1 + sinh²(u) }du
I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ 1 } du – Int{ sinh²(u) }du
I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ 1 } du – I
2 I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ 1 } du
2 I = cosh(u) • sinh(u) – u + C
I = (cosh(u) • sinh(u) – u) / 2 + C
Setzt man nun zurück ein, aslo u = sinh⁻¹(x), erhält man
I = (cosh(sinh⁻¹(x)) • sinh(sinh⁻¹(x)) – sinh⁻¹(x)) / 2 + C
I = x √(x² + 1)) / 2 – ln(x + √(x² + 1)) / 2 + C
Die Aussage ist richtig.
Mit dem ersten Strahlensatz erhält man
|A S| / |S M_a| = |A M_c| / |M_c M|
und mit Ausnutzung von Sietehalbierenden
|B M_c| / |B M| = |B C| / |B M_a|
(1/2 |B A|) / |B M| = |B C| / (1/2 |B C|)
|B A| = 4 |B M|.
|B M| teilt |B A| also in vier gleich große Teile.
Damit erhalten wir dann
|A S| / |S M_a| = |A M_c| / |M M_c|
|A S| / |S M_a| = (1/2 |A B|) / ((1 – 1/4) |A B|)
|A S| / |S M_a| = 2.
Das Verhältnis von langer und kurzer Seite, die durch Teilung vok s_a durch S entsteht, ist also 2:1.
Q • v • B2 = m • v² / r |•r
Q • v • B2 • r = m • v² |:v
Q • B2 • r = m • v |:B2
Q • r = m • v / B2 |:Q
r = m • v / B2 / Q
Setzt man nun v = E / B1 ein, erhält man
r = m • E / B1 / B2 / Q
r = m • E / (B1 • B2 • Q)
r = E / (B1 • B2 • Q / m)
Ableitungsgraph oberhalb der x-Achse => Ausgangsgraph streng monoton steigend
Ableitungsgraph unterhalb der x-Achse => Ausgangsgraph streng monoton fallend
Insgesamt also: Ableitungsgraph nicht auf der x-Achse => Ausgangsgraph streng monoton
An den Nullstellen der Ableitung liegt genau dann ein Extremum vor, wenn von links nahh rechts über die Nullstelle ein Vorzeichenwechsel des Ableitungsgraphen ist.
Versuch es jetzt mal selber mit den Aussagen oben, ich kann gerne bestätigen/korregieren.
Solltest auf jeden Fall Grundlagen nochmal Wiederholen (außer du fühlst dich sehr sicher), Sichwort Rechengesetze.
Ansonsten eben alles aus dem Schuljahr (in aller Regel wiederholt ihr dort alles, was ihr für die ZAP benötigt).
Darunter fällt unter anderem:
Belieb sind für Oberflächen-/Mantelfläche-/Volumenformel Rechenaufgaben zu (quadratischen) Pyramiden, Kugeln und Kegeln.
Quadratische Gleichungen werden sicher auch drankommen. Normalform und Scheitelpunktform sowie quadratische Ergänzung solltest du berechnen bzw. anwenden können.
Der Rest ist ziemlich einfach und ohne weitere Übung zu meistern.
(Wenn ich meine Erfahrungen noch gut im Kopf habe.)
Allgemein lautet die Formel für ein Ereignis E ja einfach
P(E) = [Anzahl günstiger Ergebnisse] / [Anzahl aller Ergebnisse].
Die Anzahl aller Ergebnisse ist durch nCr(20, 3) gegeben. nCr(n, k) steht für den Binomialkoeffizienten "n über k".
Warum nCr(20, 3)? Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl an Kombinationen an, aus n Objekten k zu wählen. In der Aufgabe zieht man ja 3 Karten aus einen 20-Karten-Stapel. Da für das Ziehen der Karten die Reihenfolge irrelevant ist, ist die Anzahl an Möglichkeiten drei Karten zu ziehen gleich der Anzahl an Möglichkeiten 3 Karten aus 20 zu wählen, also gerade nCr(20, 3).
Die Anzahl an günstiger Ergebnisse (also keine rote Karte zu ziehen) ist gerade nCr(4, 0) • nCr(16, 3). Warum?
Es gibt von den 20 Karten genau 4, die rot sind. Man kann also nur aus den 16 anderen Karten ziehen. Die Anzahl an Kombinationen, aus diesen 16 Karten genau 3 zu ziehen, ist gerade nCr(16, 3). Aus den 4 roten Karten darf keine gezogen werden, wofür es nur nCr(4, 0) = 1 Möglichkeit gibt (nämlich keine von denen zu ziehen).
Daher gibt es insgesamt nCr(4, 0) • nCr(16, 3) = nCr(16, 3) mögliche Kombinationen, keine rote Karte zu ziehen. Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit damit
P(B) = nCr(16, 3) / nCr(20, 3)
bzw. ausführlich
P(B) = nCr(4, 0) • nCr(16, 3) / nCr(20, 3).
a)
Sie sind dann parallel, wenn die Richtungsvektoren linear abhängig - das heißt, ein Vielfaches k voneinander - sind. Du erhälst also das Gleichungssystem
1 k = 2 a
a k = 1
–2 k = 4.
Wegen der letzten Gleichung ist k = –2 und damit nach der zweiten Gleichung a = –1/2. Setzen wir beides aber in die erste ein, erhalten wir –2 = –1, was falsch ist.
Es gibt gar kein a für dass die Aufgabe erfüllt ist - die Lösung ist falsch. (Der Lehrer wollte vermutlich als erste Koordinate des Richtungsverktors von g die Zahl 1/2 statt 1 schreiben, dann würde es passen).
b)
Den Schnittpunkt zweier Gerade kannst du z. B. mit Gleichsetzen lösen, also
1 + 1 t = 3 + 0 s
a + 0 t = 2 + 3 s
0 – 2 t = 3 a + 1 s.
Das LGS hat die Lösung t = 2 und a = s = –1.
Damit ist der Schnittpunkt bei (3, –1, –4).
Wenn f"(x_0) = 0, dann kann an der Stelle x = x_0 ein Wendepunkt (dazu zählen auch Sattelpunkte, z. B. bei f(x) = x³) sein. Es kann aber auch ein Extremum sein, z. B. bei g(x) = x⁴.
Begründung:
Links und rechts der Stelle x = x_0 kann die zweite Ableitung größer oder kleiner null sein. Geometrisch gilt dann
Fall 1: links, rechts > 0 => Tiefpunkt
Fall 2: links, rechts < 0 => Hochpunkt
Fall 3: links, rechts ungleiche Vorzeichen => Sattelpunkt
Um ein Sattel- oder Extrempunkt handelt es sich dann, wenn die erste Ableitung null ist. Um ein Wendepunkt - der kein Sattelpunkt ist - handelt es sich dann, wenn die erste Ableitung ungleich null ist.
Begründung:
Fall 1: f'(x_0) = 0 => siehe oben (im Falle eines Wendepunktes handelt es sich dann um ein Sattelpunkt)
Fall 2: f'(x_0) ≠ 0 => siehe oben (kann kein Extremum Wendepunkt, der kein Sattelpunkt ist)
Ich weiß nicht, ob es ein Beweis ist, aber ich würde es so begründen:
Wenn a und b aus Z sind, dann kann man für a, b >= 0 direkt sagen, dass auch a + b und a • b in Z liegen, da N eine Teilmenge von Z ist.
Wenn a, b < 0, dann kann man genau umgekehr argumentieren, weil man Z so definieren kann, dass für jedes natürliche a in Z ein –a mit a + (–a) = (–a) + a = 0 gibt.
Wenn also a, b < 0 bzw. –a, –b > 0, dann ist aufgrund der Abgeschlossenheit vol N auch (–a) + (–b) aus N und damit –((–a) + (–b)) = a + b aus Z. Außerdem ist (–a) • (–b) aus N, also auch (–a) • (–b) = a • b aus Z.
Ist nun o.B.d.A. a < 0, b >= 0 und b >= a, dann ist b + a eine natürliche Zahl, also aus Z. Ist b < a, dann ist –(b + a) eine natürlich Zahl, also aus Z. Nach Definition von Z, ist dann aber auch –(–(b + a)) = b + a aus Z. Für a • b kann man analog argumentieren.
Insgesamt ist Z also abgeschlossen bzgl. der Addition und Multiplikation.
Ich hoffe, das hilft dir weiter
Entscheidend ist, dass du das Integral inzwei teilst, um den Betrag aufzulösen. Dann kannst du die Eulerformel anwenden und es lösen.
Text auswählen und
Strg+L
Kombination drücken, meines Wissens nach.
Man rechnest ja obere Grenze eingesetzt minus untere Grenze eingesetzt, aber du hast einfach addiert, nicht subtrahiert.
Rechts nach einsetzen der Klammern hätte shehen müssen (die jeweilge Stammfunktion mit den eingesetzten Grenzen ist in eckigen Klammern)
[–b cos(π • 1) • 1/π] – [–b cos(π • 0) • 1 / π]
= –b cos(π) / π + b cos(0) / π
= –b • (–1) / π + b • 1 / π
= b / π + b / π
= 2 b / π
Und mit der Info, dass der Integralwert 2 sein soll, erhälst du dann
2 = 2 b / π |•π
2 π = 2 b |:2
π = b
(a)
Wenn x in A, dann ist (x, x) in R.
(b)
Wenn (x, y) in R, dann ist auch (y, x) in R.
(c)
Wenn (x, y) und (y, z) in R, dann ist auch (x, z) in R.
(d)
n(n+1)/2
(e)
Wenn die letzten drei Stellen eine Zahl bilden, die durch 8 teilbar ist, dann ist die gesamte Zahl durch 8 teilbar.
1. Zu Gunsten der Statistik, die widerlegt werden soll.
2. So, dass man den Fehler 1. Art beschränken kann (Signifikanzniveau).
Du musst also schauen, dass du die Nullhypothese so setzt, dass du der Hypothese, welche du widerlegen willst, das Signifikanzniveau vorgeben kannst.
Was können wir verstehen?
Das ist eine gute und - wie ich finde - auch berechtigte Frage.
Zuerst einmal gilt herauszufinden, was verstehen denn überhaupt meint.
Ich denke - und ich denke, du denkst es auch -, dass verstehen einfach heißt, Prozesse wahrzunehmen, zu speichern und vor allem mit gespeicherten Daten zu verknüpfen.
Besonders auf das Verknüpfen kommt es an. Denn hier bieten sich oftmals viele Möglichkeiten an.
Ich glaube, die einfachste Art von Verknüpfung ist jene, bei der Daten aufeinander aufbauen, also linear in eine Richtung mit einander verbunden sind:
A -> B -> C -> ...
Dieses Modell vom Verstehen können wir nun nutzen, um der Frage, was Verstehen überhaupt ist, nachzugehen.
Nach dem einfachen Modell oben, verstehen wir, wie man von A nach B und von B nach C kommt usw.
Selbst wenn wir die Umkehrung ebenfalls wüssten, können wir dann sagen, wir haben es verstanden?
Wüssten wir auch, wie man von C nach B und von B nach A kommt, verstehen wir dann, wie wir z. B. zu C gekommen sind?
Das muss ich zumindest nach diesem Modell mit Nein beantworten. Denn wir verstehen nicht, wie es zu A kommt.
Wir nehmen einfach an, A sei wahr bzw. es würde schon selbsterklärend sein.
Und hier liegt das Problem. Wir bauen auf etwas auf, wovon wir vielleicht verstehen im Sinne der Herleitung.
Wir sehen sowas als Selbstverständlich und ganz klar an, wissen aber eigentlich (fast) gar nichts.
Wieso trotzdem alles - zumindest ohne philosophisch nachzudenken - einen Sinn zu haben scheint, kann ich mir nur mit dem kaum erforschten Unterbewusstsein erklären.
Denn selbst die schlausten Menschen sagen nicht, dass man auf A nicht aufbauen kann, obwohl man A nicht weiter erklären kann. Es ist in uns Menschen einfach eingebaut eine Grenze nicht zu überschreiten, das Leben aber dennoch zu beschreiten.
Wäre es aber nicht auch irgendwie merkwürdig, gäbe es nicht so eine Grenze?
Manche Fragen sind vielleicht gar nicht beantwortbar.
Wir dürfen nicht vergessen, dass alles, was wir uns denken, nur in unserem Geist (Bewusstsein und auch Unbewusstsein) existieren.
Vielleicht verstehen wir nicht, ob wir verstehen können, weil wir selber den Begriff Verstehen eingeführt haben. Vielleicht haben wir selber Fehler gemacht.
Allerdings bleibt dann immernoch die Frage nach dem, worauf alles aufbaut.
Wenn du die Funktionsvorschriften von f und g vergleichst, dann fällt dir auf, dass f(x/2) = g(x) ist. Nichts anderes steht dort (man hat dort nur als Beispiel x = 2 gesetzt). Wenn also statt f(x) dann g(x) = f(x/2) berechnet wird, wird der Graph um 2 zur x-Achse gestreckt (z. B. g(2) = f(1), g(4) = f(2), g(6) = f(3), ...). Also überall dort, wo g ein Funktionswert bei x hat, ist der Funktionswert von f der von x/2. Das was f also bei x/2 hat, hat g bei x, es wird also nach alles um 2 zur x-Achse gestreckt.
a)
v(t) = 5 t² e^(–t)
(1)
(v(3) – v(0)) / (3 – 0) ≈ 0,75 [m/s²]
(2)
I = Integral{0, x} v(t) dt = 8
(Entweder per Taschenrechner x lösen oder, falls gehabt, partiell integrieren)
I = –5 x² e^(–x) – Integral{0, x} –10 t e^(–t) dt
I = –5 x² e^(–x) –(10 x e^(–x) – Integral{0, x} 10 e^(–t) dt)
I = –5 x² e^(–x) – 10 x e^(–x) – 10 e^(–x) + 10
8 = 10 – (10 + 10 x + 5 x²) e^(–x)
Das musst du mit dem Taschenrechner berechnen: x ≈ 4,28 [s].
b)
Das Integral gibt den orientierten Abstand vom Startpunkt nach 14 Sekunden in Metern an.
Zuerst erkläre ich mal den euklidischen Algorithmus.
Mit dem euklidischen Algorithmus kannst du den größten gemeinsamen Teiler (kurz ggT) zweier natürlichen Zahlen a und b bestimmen. Der ggT ist die größte natürliche Zahl, die beide Zahlen a und b teilen kann.
Beispiele:
ggT(12, 6) = 6
ggT(100, 125) = 25
ggT(1, n) = 1
ggT(n, n) = n
ggT(12, 9) = 3
Für kleine Zahlen ist es einfach, den ggT direkt bzw. durch Primfaktorzerlegung anzugeben. Bei großen Zahlen wird es aber schwierig. Was ist zum Beispiel ggT(103872, 167376)? Hier kommt der euklidische Algorithmus zum Einsatz. Ich versuche mal anhand eines Beispiels zu erklären, wie er funktioniert.
Wir suchen ggT(120, 132). Zuerst schauen wir, wie oft die kleinere der beiden Zahlen in die größere "reinpasst".
132 / 120 = 1 Rest 12
Die 120 passt genau einmal in die 132 rein und übrig bleiben 12. Wenn wir nun wissen, wie oft die 12 in die 120 passt, dann wissen wir auch, wie oft sie in die 132 passt. Warum wollen wir das wissen? Naja, die 120 passt offensichtlich nicht in die 132, also ist 120 kein Teiler von 132. Wenn aber die 12 ein Teiler von 120 ist, dann ist 12 auch ein Teiler von 132. Also schauen wir, ob 12 passt.
120 / 12 = 10 Rest 0
Die 12 passt genau 10 mal in die 120. Also haben wir einen Teiler von 120 und damit auch einen von 132. Tatsächlich ist es auch der größte gemeinsame Teiler. Es gilt also
ggT(132, 120) = 12.
Hier noch ein weiteres Rechenbeispiel:
ggT(1204, 340) = ?
1204 / 340 = 3 Rest 184
340 / 184 = 1 Rest 156
184 / 156 = 1 Rest 28
156 / 28 = 5 Rest 16
28 / 16 = 1 Rest 12
16 / 12 = 1 Rest 4
12 / 4 = 3 Rest 0
=> ggT(1204, 340) = 4
Nun das, worum es eigentlich gehen soll: Der erweiterte euklidische Algorithmus.
Der erweiterte euklidische Algorithmus gibt ganze Zahlen x und y an, für die
ggT(a, b) = x • a + y • b.
Betrachten wir wieder die Zahlen a = 132 und b = 120. Dann gilt ja ggT(132, 120) = 12, denn
132 / 120 = 1 Rest 12,
120 / 12 = 10 Rest 0.
Formen wir das mal etwas um:
132 = 1 • 120 + 12
120 = 10 • 12 + 0
Wenn wir die erste Gleichung umformen, erhalten wir
1 • 132 – 1 • 120 = 12
also ist x = 1 und y = –1.
Nun zu unserem zweiten Rechenbeispiel. Zuerst stellen wir die Gleichungen wieder um:
1204 = 3 • 340 + 184
340 = 1 • 184 + 156
184 = 1 • 156 + 28
156 = 5 • 28 + 16
28 = 1• 16 + 12
16 = 1 • 12 + 4
12 = 3 • 4 + 0
Hier reicht es nicht nur die erste Gleichung umzuformen. Wir formen die vorletzte Gleichung um, da hier der ggT (=4) auftaucht.
4 = 16 – 1 • 12
Nun setzen wir die Gleichung darüber in diese Gleichung ein (diese formen wir nach dem, was bei der Division der Rest wäre, also 12, um: 28 – 1 • 16 = 12):
4 = 16 – 1 • (28 – 1 • 16)
4 = 2 • 16 – 1 • 28
Das selbe mit der Gleichung darüber usw. (156 – 5 • 28 = 16):
4 = 2 • (156 – 5 • 28) – 1 • 28
4 = 2 • 156 – 11 • 28
Nächste Gleichung (184 – 1 • 156 = 28):
4 = 2 • 156 – 11 • (184 – 1 • 156)
4 = 13 • 156 – 11 • 184
Nächste Gleichung (340 – 1 • 184 = 156):
4 = 13 • (340 – 1 • 184) – 11 • 184
4 = 13 • 340 – 24 • 184
Nächste Gleichung (1204 – 3 • 340 = 184):
4 = 13 • 340 – 24 • (1204 – 3 • 340)
4 = 85 • 340 – 24 • 1204
Und damit x = 85 und y = –24.
So haben wir eine Linearkombination von 340 und 1204 für den ggT von 4 bekommen.
Das können wir auf die Übungsaufgabe anwenden.
ggT(259, 38) = ?
259 / 38 = 6 Rest 31
38 / 31 = 1 Rest 7
31 / 7 = 4 Rest 3
7 / 3 = 2 Rest 1
3 / 1 = 3 Rest 0
=> ggT(259, 38) = 1
Also können wir mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus tatsächlich eine Linearkombination für den ggT angeben.
Zuerst stellen wir die Gleichungen wieder um und setzen dann wieder rückwärts ein:
259 = 6 • 38 + 31
38 = 1 • 31 + 7
31 = 4 • 7 + 3
7 = 2 • 3 + 1
3 = 3 • 1 + 0
_____
1 = 7 – 2 • 3
1 = 7 – 2 • (31 – 4 • 7)
1 = 9 • 7 – 2 • 31
1 = 9 • (38 – 1 • 31) – 2 • 31
1 = 9 • 38 – 11 • 31
1 = 9 • 38 – 11 • (259 – 6 • 38)
1 = 75 • 38 – 11 • 259
Und damit s = –11 und t = 75.
Hier noch zwei Videos:
https://youtu.be/bYQxRQvQEto?feature=shared
https://youtu.be/NSLpbua96lk?feature=shared