Symmetriepunkt berechnen?
f(x) = x^3-3x^2+3x, die Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt P(x/y). Wie kann ich die Koordinaten des Symmetriepunktes berechnen?
6 Antworten
1) Graphische Lösung
2) Lösung über Kurvendiskussion, suche nach dem Wendepunkt (ist bei Funktionen 3. Grades = Symetriepunkt)
Nur zwei Bemerkungen zu den Begriffen:
(1.) Nicht die Funktion ist symmetrisch, sondern ihr Graph.
(2.) Der Graph ist nicht symmetrisch zu einem Punkt P, sondern bezüglich eines Punktes P.
(Etwas, das symmetrisch zu einem Punkt ist, müsste selbst ebenfalls ein Punkt sein !)
Jetzt wird mir bestimmt irgendjemand Pingeligkeit vorwerfen - aber in derartigen Dingen ist klare Begrifflichkeit und meinetwegen sogar ein wenig "Pingeligkeit" eine Tugend !
f(x) = x³ - 3x² + 3x
f(x) = (x³ - 3x² + 3x - 1) + 1
f(x) = (x - 1)³ + 1
Die Funktion ist also x³, verschoben um +1 in x-Richtung und +1 in y-Richtung, der Symmetriepunkt ist also (1; 1).
Es muss gelten:
f(xs-x)-ys = - f(xs+x)+ys
Einsetzen, auflösen.
Außerdem (einfacher) ist eine Funktion dritten Grades immer
punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt.
f(x+a)+b = -(f(-x+a)+b);
Das dann nach a und b auflösen. a ist dann die x-Koordinate des Symmetriepunktes. Wenn die Funktion an der Stelle a definiert ist, dann ist die y-Koordinate des Symmetriepunkts der Wert f(a) ansonsten b.(Wenn ich mich nicht täusche)
Hat mein Prof so formuliert