Summe zweier natürlichen Zahlen mit möglichst kleinem Produkt?
Hallo,
Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
Die Summe zweier nicht negativen Zahlen ist 10. Bestimme die Zahlen so, sodass das Produkt möglichst klein ist.
Nach meinem Ansatz:
HB: c= a*b
NB: 10=a+b
a=10-b
ZF: c=(10-b)*b
Ableitung: c'(b)=-2b+10=0
b= 5
Wenn ich das ganze jetzt aber in die zweite Ableitung einsetze ist es kein Minimum sondern ein Maximum. Da es aber Zahlen gibt mit die eher auf die Aufgabe zutreffen, glaube ich, dass ich einen Fehler in dem Ansatz habe.
5 Antworten
Es sieht so aus, als ob Sie den richtigen Ansatz verfolgen, um das Problem zu lösen. Sie haben richtig die Kostenfunktion c(b) = (10-b) * b definiert und die erste Ableitung c'(b) berechnet. Dann haben Sie die Nullstelle der ersten Ableitung gefunden, um das Minimum der Kostenfunktion zu finden.
Der Fehler in Ihrem Ansatz liegt darin, dass Sie nicht berücksichtigt haben, dass die Variablen a und b nicht-negativ sein müssen. Daher ist die Nullstelle der ersten Ableitung, die Sie gefunden haben, b = 5, nicht gültig, da a = 5 und b = 5 nicht erfüllt die Bedingung a, b ≥ 0.
Um das Minimum der Kostenfunktion zu finden, unter der Bedingung, dass a und b nicht-negativ sind, müssen Sie die Lösung auf 0 ≤ b ≤ 10 beschränken. Dann finden Sie das Minimum bei b=0, a=10. Das Minimum des Produkts a*b ist dann 0.
Es gibt auch Extremstellen, bei denen die erste Ableitung nicht Null ist.
Bei Extremstellen, die am Rand des Definitionsbereiches liegen, ist das in der Regel der Fall.
Der Definitionsbereich deiner Funktion ist dadurch bestimmt, dass du natürliche Zahlen suchst und durch die Nebenbedingung. Das b kann bei der Zielfunktion somit nur im Intervall zwischen 0 und 10 liegen. Lass dir den Graphen deiner Zielfunktion anzeigen dann versteht man schnell, was ich meine und sieht, dass die Minima an den Rändern des Definitionsbereiches liegen also bei 0 und 10.
Siehe auch hier insbesondere die Skizze, gleich am Anfang des Textes
Deine Rechnung ist richtig, du hast das Maximum gefunden.
Jetzt musst du die Ränder prüfen:
0 * 10 = 0 und 10 * 0 = 0
das ist das kleinstmögliche Produkt
Die Aufgabe lautete:
Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
Die Summe zweier nicht negativen Zahlen ist 10. Bestimme die Zahlen so, sodass das Produkt möglichst klein ist.
Darauf habe ich geantwortet.
Im Fragetitel ist zwar von natürlichen Zahlen die Rede, in der Frage aber von "nicht negativen". Wenn es sich um natürliche Zahlen handeln sollte, wäre diese Formulierung überflüssig.
Das zeigt mal wieder, dass eine klare Definition der Frage immer sinnvoll ist.
Das ist eine Frage der Definition.
Meines Wissens nach gehört die Zahl 0 nicht zu der Menge der natürlichen Zahlen.
Damit verschiebt sich das Ergebnis zu 1 & 9.
Bearbeitet: Nevermind gfntom hat die richtige Lösung.
Das ist eine Frage der Definition.
Meines Wissens nach gehört die Zahl 0 nicht zu der Menge der natürlichen Zahlen.
Damit verschiebt sich das Ergebnis zu 1 & 9.