Summe aller Vierstelligen Zahlen, die durch sieben teilbar sind?
Kann mir jemand den Rechenweg erklären, wie ich zur Summe aller Vierstelligen Zahlen, die durch sieben teilbar sind, komme? 7071071 wäre das Ergebnis aber ich weiß einfach nicht wo ich Anfangen soll.
LG Etnirp
7 Antworten
Hallo,
zunächst stellst Du fest, welche die kleinste und welche dir größte vierstellige Zahl ist, die durch 7 teilbar ist.
Das sind die 1001 (143*7) und die 9996 (1428*7)
Das sind, da die erste Zahl mitgezählt wird, 1428-143+1=1286 Zahlen.
Nun machst Du es wie einst der junge Gauß:
Du schreibst die durch 7 teilbaren Zahlen von 1001 bis 9996 einmal von vorn nach hinten auf (die Glieder zwischendurch kannst Du natürlich beim Schreiben überspringen) und einmal von hinten nach vorn:
1001+1008+...+9989+9996
9996+9989+...+1008+1001
Zahlen, die auf diese Weise übereinander zu stehen kommen, ergeben immer dieselbe Summe, nämlich 10997.
Du hast also 1286 mal die Summe von 10997.
Da dies die Summe zweier Reihen ist, Du aber nur die Summe von einer Reihe berechnen möchtest, teilst Du das Ergebnis durch 2:
(1286*10997)/2=7.071.071
Herzliche Grüße,
Willy
Finde diese Lösung deutlich eleganter, als über die Summenformel (wie bei mir).
kleinste Zahl: 1001
größte Zahl 9996
Anzahl der Zahlen: 1 + (9996 - 1001) / 7 = 1286
S = 1001 + ∑ (1001 + i * 7)
mit i von 1 bis 1285
S = 1001 + 1001 * 1285 + 7 * ∑ i
mit i von 1 bis 1285
S = 1001 + 1286285 + 7 * (n^2 + n)/2 = 1286285 + 7/2 * (1651225 + 1285) = 1001 + 1286285 + 5783785 = 7071071
(n^2 + n)/2 ist die Gaußsche Summenformel
ja.. zuerst einmal findest du alle 4-stelligen Zahlen, die durch 7 teilbar sind.. die kleinste ist 1001 (7*143), dann kommt logischerweise 1008, 1015 usw das geht bis 9996 ( 7*1428 )... alsoo.. du musst rund 1300 mal eine vierstellige Zahl miteinander addieren..das ist einfach nur lästig und lahm wozu gibt es Computer.. da reichen ein paar leicht geschriebene Zeilen aus und der rechnet dir das ganz schnell vor.. euer Lehrer verlangt das doch nicht wirklich von euch oder?
Ich hab' keinen wahnsinnig eleganten Weg gefunden, aber was soll's?
Die höchste vierstellige Zahl, die durch 7 teilbar ist, ist 9996. Die kleinste ist 1001.
Das heißt, es gibt wie viele durch 7 teilbare vierstellige Zahlen? 9996/7 - 994/7. Denn 9996 ist die 1428. Zahl, 994 ist die 142. Zahl, die durch 7 teilbar ist. Alle teilbaren Zahlen dazwischen, also 1286 (die Differenz), liegen im vierstelligen Bereich.
Nun legen wir Pärchen fest. Ein Pärchen sind zwei der gesuchten Zahlen.
Wir addieren zunächst 9996 und 1001, also 10997. Das ist ein Pärchen. Wenn wir nun von beiden Seiten in die Mitte gehen, bleibt die Summe eines Pärchens gleich (1001 wird um 7 erhöht, 9996 um 7 verringert).
Wir haben 1286 Zahlen, also 643 Pärchen. Nun multiplizieren wir die Anzahl der Pärchen mit der Summe eines jeden Pärchens und erhalten 643*10997=7071071.
Hinweis: Das funktioniert hier nur glatt, weil die Anzahl der teilbaren Zahlen gerade ist. Sonst muss man noch einen Schritt mehr rechnen, weil ja die Zahl in der Mitte dann keinen Partner hat.
Zusatz:
Als Summe kann man es so schreiben:
Summe für n=0 bis n=1285 von 1001+7*n
Man zählt hier von 0 startend, daher ist 1285 die 1286. Zahl, also nur bis n=1285. Und 1001 ist weiterhin die kleinste gesuchte Zahl und für jede weitere Zahl addieren wir ja 7 drauf, daher der Term 1001+7*n (also die n-te gesuchte Zahl ist 1001+7*n, bspw. die zweite wäre 1001+7*1=1008 (denk dran, wir zählen hier von 0, nicht von 1 startend)).
Ich hab' nur nach einer Formel oder so was gesucht, deshalb gefiel mir das ganze Rumrechnen nicht so.
Im Grunde habe ich nur bei Gauß geklaut. (Bin im falschen Feld gelandet. Kommentar streichen.) Willy
Zunächst bestimmen wir die erste Zahl:
1400 - 350 - 49 = 1001 ist durch 7 teilbar. Stellt sich die Frage, welche Zahl die letzte ist:
9800 + 140 + 56 = 9996 ist die letzte vierstellige Zahl, welche durch 7 teilbar ist. Insgesamt gibt es also:
(9996-1001)/7 + 1 = 8995/7 + 1 = 1285+1 = 1286 Zahlen, welche vierstellig sind und durch 7 teilbar.
Die erste Zahl ist 1001, dann 1001+7, 1001+2*7, ..... bis 1001+1285*7. Das lässt sich schreiben als 1286*1001+(7+2*7+...+1285*7) = 1286*1001 + 7*(1+2+3+...+1285). Nun benutzen wir den kleinen Gauß:
1+2+3+...+1285 = (1285^2 + 1285)/2 = 826255
Damit ist die Summe: 1286*1001+7*826225 = 1287286+5783785 = 7071071.
Nein händisch müssen wir das nicht machen, nur die Schritte, die wir dann in den Taschenrechner eingeben.