Frage von majawarana, 107

wiso ist die summe von3 aufeinander folgende Zahlen immer durch 3 Teilbar?

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 44

Die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen ist immer durch 3 teilbar.

Das zu beweisen, ist nicht schwierig:

Sei n eine natürliche Zahl.

These: n + (n + 1) + (n + 2) ist durch 3 teilbar.

Den Ausdruck n + (n + 1) + (n + 2) können wir umschreiben:

n + (n + 1) + (n + 2)
= n + n + 1 + n + 2
= 3n + 3

Jetzt stellt sich die Frage: Ist 3n + 3 durch 3 teilbar? Ja!

3n + 3
——— = n + 1
    3

Und damit wäre bewiesen, dass n + (n + 1) + (n + 2) durch 3 teilbar ist. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von ReiInDerTube123 ,

Gut das endlich mal jemand allgemein ohne krumme Beispiele rangegangen ist.

Antwort
von gfntom, 55

Von 3 aufeinader folgenden Zahlen ist genau eine durch 3 teilbar, eine hat Rest 1 und eine Rest 3.

Bei Summation ist der "Rest" 3 und daher wieder durch drei teilbar.

Antwort
von SirRamic, 55

Ich vermute, dass du die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen meinst.

Testen wir das mal mit 0, 1 und 2. Die Summe ist 3 und damit durch 3 teilbar.

Wenn du die nächste mögliche Kombination nimmst, hättest du 1, 2 und 3, was ja das Gleiche ist wie 0+1, 1+1 und 2+1, also jede Zahl um 1 erhöht.

(0+1)+(1+1)+(2+1) ist das Gleiche wie (0+1+2)+3. Wir wissen, dass das in der Klammer durch 3 teilbar ist und jetzt haben wir gezeigt, dass einfach 3 hinzugefügt wurde. Damit ist diese Folge auch durch 3 teilbar.

Jedes Mal, wenn du also 3 aufeinanderfolgende Zahlen hast, ist das im Prinzip das Gleiche, nur dass du beliebig oft 3 addiert hast.

---

Ein anderer Ansatz noch:

Du nimmst eine beliebige Zahl x, die Zahl, die davor kommt (also x-1) und die Zahl die danach kommt (also x+1). Damit hast du drei aufeinanderfolgende Zahlen.

x+(x-1)+(x-1) = x+x+x = 3x

und das ist durch 3 teilbar für jede Zahl, die du für x einsetzt.

Kommentar von Rhenane ,

nur kleiner Schreibfehler in der vorletzten Zeile; eine der Klammern muß (x+1) heißen

Kommentar von SirRamic ,

Oh ja, danke. Leider zu spät, um noch was zu editieren.

Antwort
von priesterlein, 41

Sind sie nicht, oder meinst du nicht die Zahlen sondern deren Summe? Meinst du natürliche Zahlen?

Bei dreien ist eine sowieso durch drei teilbar und die anderen beiden haben je einen Rest von 1 und 2, was wieder summiert eine 3 ergibt und somit die Summe restlos durch 3 teilbar macht.

Kommentar von majawarana ,

Ja genau das meine ich

Antwort
von Rubezahl2000, 43

Das stimmt doch gar nicht!

Von 3 aufeinander folgenden, natürlichen Zahlen ist immer nur EINE aber NIEMALS alle drei Zahlen durch 3 teilbar!

Kommentar von Wechselfreund ,

Stand da nicht "Summe aus"?

Kommentar von Rubezahl2000 ,

Dann hat er die Frage nachträglich korrigiert!
Als ich geantwortet habe (und mehrere andere auch), stand da nichts von "Summe"! Da lautete die Frage, wieso 3 aufeinander folgende Zahlen immer durch 3 teilbar sind.

Kommentar von Wechselfreund ,

Ok, danke!

Antwort
von PhotonX, 49

1, 2 und 3 sind drei aufeinander folgende Zahlen aber nur eine von ihnen ist durch drei teilbar.

Antwort
von Question9889, 10

Nehmen wir das ganze mal an einem Beispiel durch: 6+7+8 kann man genauso schreiben wie 7+7+7=21 ; 21/3 =7. Die "äußeren" Zahlenwerte 6 und 8 ergeben immer die Differenz zwischen der addierten durch drei teilbaren Zahl und und der mittleren Zahl.

Anders formuliert 6+8=14 ; 14/2=7 ----> d.h 6+8=2*7 ------> d.h 6+7+8= 2*7+7=3*7 und das lässt sich immer durch drei teilen!

Antwort
von xstefannx, 27

Jede Zahl mit einer Quersumme welche durch 3 geht ist IMMER durch Drei teilbar. z.B 123, 1092, 1500 usw.. hast du drei gleiche Ziffern z.B 444, müssen diese natürlich  in der 3-er Reihe sein denn, wenn du drei mal die gleiche zahl addierst (4+4+4) entspricht das einer Multiplikation mit 3 (3*4)

Antwort
von Busty4, 32

ganz einfach, nennen wir die erste Zahl allgemein "n" (die zweite wäre dann n+1 und die dritte n+2). Wenn man die 3 aufeinander folgende Zahlen jetzt miteinander addiert erhält man: 

n + (n+1) + (n+2) = 3*n + 3 = 3*(n+1)

wie man sieht, kann man die 3 herausheben und damit sehen, dass die Summe durch 3 teilbar ist. Und weil wir eine allgemeine (natürliche) Zahl n angenommen haben, gilt das natürlich für alle Zahlen

Antwort
von AndiS19, 42

Wie kommt man denn da drauf?

Antwort
von Geograph, 16

(n-1) + n+ (n+1) = 3 • n

(3 • n) / 3 = n

oder

n + (n+1) + (n+2) = 3 • n + 3

(3 • n + 3) / 3 = n +1

Kommentar von Mikkey ,

Tatsächlich noch die kurze und trotzdem vollständige Antwort gefunden ;-).

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