Wie viele vierstelligen Zahlen gibt es , deren Hälfte durch 2 teilbar ist, deren Drittel durch 3 teilbar ist und drei Fünftel durch 5 teilbar?

Gemeinsamer Teiler dieser Zahlen ist 4 x 9 x 25 = 900

Die kleinste vierstellige Zahl ist (1000/900 = 1,11), aufgerundet 2: 2 x 900 = 1800

Die größte ist (9999/900 = 11,11), abgerundet 11: 11 x 900 = 9900

Allgemein X = 900 x n für n = 2 ... 11

Insgesamt 10 Zahlen, die die Bedingung erfüllen

7 - 17

Erstmal beginnen wir mit dem gesamten Bereich 1000-9999.

Die Hälfte der Zahlen (die ungeraden) fliegen raus, da die erste Bedingung besagt, das nur Zahlen, die halbiert eine ganze Zahl ergeben, deren Hälfte wiederum eine ganze Zahl ist.

Weiterhin gilt, dass jedes ganzzahliges Vielfache von 3 auch durch 3 teilbar ist, Gleiches gilt für 5 (No shit. ^^)

Weiter geht's damit, dass jede zweite Zahl durch 3 teilbar ist, jede dritte durch 3 und jede fünfte durch 5 (Na hallöchen ihr Primzahlen. ^^).

Siehe weiters auch aboats Antwort.

Die Teilbarkeitsbedingungen lassen sich zusammenfassen, dass die Zahl durch 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 teilbar sein soll, also durch 900 teilbar sein soll. (Dies geht, da die Zahlen 2, 3, 5 verschiedene Primzahlen sind und daher insbesondere paarweise teilerfremd sind.)

Da die Zahl also ein Vielfaches von 900 teilbar sein soll, bedeutet das, es gibt eine ganze Zahl k, sodass die Zahl gleich 900 ⋅ k ist.

Nun soll die Zahl dreistellig sein, also im Intervall [1000, 9999] liegen. Damit erhält man die Bedingung 1000 ≤ 900 ⋅ k ≤ 9999.

Es gibt nun 11 - 2 + 1 = 10 entsprechende ganze Zahlen k (nämlich 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11). Für jede dieser ganzen Zahlen k gibt es eine gesuchte vierstellige Zahl 900 ⋅ k.

Ergebnis: Es gibt 10 solcher vierstelliger Zahlen.

Diese vierstelligen Zahlen sind übrigens...

• 900 ⋅ 2 = 1800
• 900 ⋅ 3 = 2700
• 900 ⋅ 4 = 3600
• 900 ⋅ 5 = 4500
• 900 ⋅ 6 = 5400
• 900 ⋅ 7 = 6300
• 900 ⋅ 8 = 7200
• 900 ⋅ 9 = 8100
• 900 ⋅ 10 = 9000
• 900 ⋅ 11 = 9900

sei abcd die vierstelle zahl.
dann gilt:

abcd/2=2*k1
abcd/3=3*k2
abcd*3/5=5*k3

was heißt das nun?
wir lesen ab dass
abcd den faktor 2*2 enthalten muss.
den faktor 3*3 enthalten muss.
sowie ein vielfaches von 5*5/3 sein muss. (was auch bedingt dass einer der faktoren ne 3 sein muss. sonst käme keine ganze zahl raus)

insgesamt müssen also als faktoren 2,2,3,3,5,5 vorkommen

sprich:
abcd muss ein vielfaches von
2*2*3*3*5*5=900 sein.
D.h. alle vielfachen von 900, die vierstellig sind, sind Lösungen des Ganzen.

sagen wir also abcd=900*p.
testen wir das es auch alle bedingungen erfüllt:
450p ist offensichtlich durch 2 teilbar, passt also.

900p/3=300p ist offensichtlich durch 3 teilbar.

3/5*900p=540p ist auch offensichtlich durch 5 teilbar, passt also :-)

Demnach erfüllen die folgenden 4 stelligen zahlen deine Bedingungen:

1800,2700,3600,4500,5400,6300,7200,8100,9000,9900.

Mehr Zahlen gibt es nicht die vierstellig sind und die bedingung erfüllen :-)