Sind zwei Ebenen parallel?
Hallo,
wenn ich zwei Ebenen in normalenform habe sind sie dann parallel wenn die n-Vektoren gleich oder vielfache von einander sind? kann man das so aussagen?
6 Antworten
Normalform heißt doch, dass sie durch einen Vektor dargestellt wird, der orthogonal auf der Ebene liegt, oder?
Dann sind 2 Ebenen mit gleichem oder vielfachem von einem Normalvektor entweder Parallel oder identisch.
Identisch, wenn sie zusätzlich einen gemeinsamen Punkt auf der Ebene haben.
Parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben (Dafür reicht es aus, einen Punkt zu finden der nicht gemeinsam ist)
Eine Ebene in Normalenform im R3 besteht immer aus einem Aufpunktvektor und othogonalen Vektoren, deren Lineakombinationen die Ebene ausspannen.
Für 2 paralle Ebenen benötigt man dann also ähnliche orthogonale Vektoren, aber Aufpunktvektoren unterschiedlicher Länge.
Genauso ist es!
Die Bemerkung von ich313313 ist nicht korrekt. Identisch sind sie erst wenn Normalenvektor gleich oder ein Vielfaches zueinander sind und die Stützvektoren gleich sind.
LG,
Heni
ich313313 verwendet offensichtlich eine andere Definition von "Normalenform" als du.
Ich kenne zwei Definitionen: eine, bei der der Normalenvektor nur orthogonal zur Ebene sein muss (und vorzugsweise normiert wird), und eine, bei der der Normalenvektor zugleich Stützvektor ist.
(Die zweite Definition lässt natürlich keine Normalenformen für Ebenen zu, die den Koordinatenursprung enthalten.)
Stimmt, das ist die weitaus gebräuchlichere Form.
Hab mir noch mal die Themen zur Frage angeschaut - da steht "Schule" (und nicht "Uni") - da dürfte diese Form maßgeblich sein. Im Fall von Uni würde ich sagen, man richtet sich am besten nach dem Prof. (Die sind nach meinem Eindruck in ihrem Fachgebiet weit häufiger Querköppe als Lehrer.)
Das Zauberwort heißt Kreuzprodukt.
Entweder man hat es schon (Koordinatendarstellung, Normalendarstellung) oder man bildet ein Vektorprodukt aus den beiden Richtungsvektoren.
Der entstehende Vektor ist senkrecht zur Ebene.
Für die Identität nimmt man einfach einen Punkt aus einer Ebene und prüft, ob er ebenfalls auf der anderen ist. (Ein Punkt genügt dabei auch.)
Wenn die n-Vektoren gleich sind, sind sie identisch. Wenn sie das vielfache voneinander sind, parallel.
Bist du dir da sicher? Wenn eine Ebene aber einen anderen Stützvektor hat dann können sie doch nicht identisch sein selbst bei gleichem N - Vektor oder?
doch, das ist immer so. Eine Ebene ist ja nicht nur z.B. einen m² groß, sondern unendlich groß (das kann man nur nicht zeichnen).
Also ist es völlig egal, welchen Stützvektor sie hat bzw. "wo sie anfängt", die sind parallel, wenn die n-Vektoren ein vielfaches voneinander sind.
Der Normalenvektor steht immer im rechten Winkel zur jeweiligen Ebene. Wenn die n-Vektoren parallel sind, müssen die Ebenen automatisch auch parallel sein.
Der Startpunkt gibt sehr wohl die Lage der Ebene im Raum an wärend der N-Vektor sozusagen die Ausrichtung der ebene Angibt
Reden wir doch nicht so abstrakt daher. Ein konkretes Beispiel:
Die Ebene gegeben durch die Koordinatenform x = 0 hat offenbar den Normalenvektor (1,0,0).
Die Ebene mit x = 1 hat ebenfalls den Normalenvektor (1,0,0). Aber die Ebenen sind echt parallel, denn kein Punkt kann zugleich die x-Koordinate 0 und die x-Koordinate 1 haben.
Umgekehrt kann ich die erste Ebene auch angeben durch die Gleichung 2x = 0, d.h. auch (2,0,0) ist ein Normalenvektor.
Die Ebenen sind bei gleichen Normalenvektoren nur dann auch in jedem Fall identisch, wenn man unter "Normalenform" die Form versteht, bei der der Normalenvektor zugleich auch Stützvektor ist.
(Ich kenne da verschiedene Definitionen von "Normalenform".)
Die Normalenform ist für mich (und auch offiziell) die hier:
g:n⃗ ∘[x⃗ −a⃗ ]=0
http://www.mathebibel.de/normalenform
Die sind parallel, sobald die Normalenvektoren ein Vielfaches voneinander sind.