Schnittpunkte Polynomfunktion und quadrat. Funktion berechnen?

5 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet
AusMeinemAlltag
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
14.10.2021, 15:32

Am besten ist es, wenn du dir eine neue Funktion erschaffst :

g(x) = f(x) - h(x)

Ganz konkret also :

g(x) = (x^4 - 3,25x^2 + 2,25 ) - (x^2 - 1)

Das vereinfachst du jetzt :

g(x) = x ^ 4 - 4.25 * x ^ 2 + 3.25

Und von der Funktion g(x) bestimmst du nun die Nullstellen :

x ^ 4 - 4.25 * x ^ 2 + 3.25 = 0

Substitution :

u := x ^ 2

u ^ 2 - 4.25 * u + 3.25 = 0

pq - Formel anwenden, auf Google und Youtube danach suchen, wenn du die nicht kennst :

u_1 = 1

u_2 = 3.25

Rücksubstitution :

Weil u = x ^ 2 ist, deshalb ist x = ∓ √(u)

Also :

x_1 = - √(u_1) = - √(1) = - 1

x_2 = √(u_1) = √(1) = 1

x_3 = - √(3.25)

x_4 = √(3.25)

Damit hast du jetzt die Schnittstellen gefunden, du sollst aber nicht die Schnittstellen berechnen, sondern die Schnittpunkte. Deshalb muss du x_1 bis x_4 entweder in f(x) oder in h(x) einsetzen. Da h(x) einfacher ist nimmt man das :

h(x) = x ^ 2 - 1

h(x_1) = h(- 1) = (- 1) ^ 2 - 1 = 0

h(x_2) = h(1) = (1) ^ 2 - 1 = 0

h(x_3) = h(- √(3.25)) = (- √(3.25)) ^ 2 - 1 = 2.25

h(x_4) = h(√(3.25)) = (√(3.25)) ^ 2 - 1 = 2.25

Also lauten die Schnittpunkte jetzt :

P_1(-1 | 0)

P_2(1 | 0)

P_3(- √(3.25) | 2.25)

P_4(√(3.25) | 2.25)
L37KA 
Fragesteller
 14.10.2021, 15:39

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Mir war nur nicht mehr bewusst, dass ich das mit der Substitution bzw. Resubstitution machen kann.

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Rhenane
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, Funktion, quadratische Funktion
14.10.2021, 15:20

Da Du hier nur die Potenzen x² und x^4 hast, kommst Du mit der "Substitution" weiter. D. h. Du definierst z. B. z=x² und erhältst so nach Einsetzen eine quadratische Gleichung, die Du wie gewohnt mit der pq-Formel lösen kannst.

Abschließend musst Du dann wieder re-substituieren, d. h. Du musst aus Deinen Lösungen die Wurzel ziehen (quasi z=x² nach x auflösen) und erhältst so die gesuchten Lösungen x1 bis x4.
L37KA 
Fragesteller
 14.10.2021, 15:23

Achso okay oh man vielen Dank

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Rubezahl2000
Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist
im Thema Schule
14.10.2021, 15:17

Substitution: z = x²

Dann hast du eine quadratische Gleichung mit z als Variable und kannst das mit der pq-Formel lösen.

Dann Rück-Substitution x=√z und sicherheitshalber noch mal die Probe machen.
Von Experte gfntom bestätigt
Ellejolka
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Schule, Mathematik
14.10.2021, 15:16

substitution und pq-formel

x² = u

x^4 = u²
Kajjo
14.10.2021, 15:17

Du substituierst u=x^2 und entsprechend u^2=x^4 und löst die quadratische Gleichung auf die normale Art mit der pq-Formel. Dann setzt du zum Schluss die Ergebnisse wieder in u=x^2 ein und fertig.