Randfunktion von Rotationskörpern bestimmen..Wie geht das bei z.B. einer Vase?
wie kann ich die randfunktion von z.B. einer Vase aufstellen um später damit das Volumen dieses Rotationskörpers zu berechnen? Dabei geht es jedoch um einen rundlichen Körper, weshalb ich nicht weiß wie ich diese bestimmen kann.
2 Antworten
Wie Du eine Funktion mit Hilfe von gegebenen Eigenschaften bestimmen kannst, ist wohl bekannt.
Du musst also "nur" nach Eigenschaften des Randes der Vase suchen. Dies können Punkte sein (wenn Du Dir diesen Rand in ein Koordinatensystem legst), genauso auch Extremstellen (waagerechte Tangente) oder Ähnliches.
Je mehr Punkte/Eigenschaften Du Dir vorgibst, desto genauer kannst Du den Rand durch die Funktion modellieren - und desto mehr Parameter hat Dein Gleichungssystem, das Du anschließend lösen musst :-)
Hat jetzt ein wenig gedauert - ich musste mir erst eine "schöne" und standsichere Vase ausdenken...
Nehmen wir an, die Vase nimmt im Koordinatensystem den Bereich 0 ≤ x ≤ 3 ein. Als Punkte lassen sich ablesen A(0|4), B(1|4), C(2|3) sowie D(3|4). Der Rand könnte zu einer Funktion 3. Grades gehören. Dann nimmst Du als Fkt. f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d. Soweit wohl alles klar.
Jetzt setzt Du die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichung ein:
A: a·0³ + b·0² + c·0 + d = 4 => d = 4
B: a·1³ + b·1² + c·1 + 4 = 4 => a + b + c = 0 (1)
C: a·2³ + b·2² + c·2 + 4 = 3 => 8a + 4b + 2c = -1 (2)
D: a·3³ + b·3² + c·3 + 4 = 4 => 27a + 9b + 3c = 0 (3)
Das GLS aus den letzten drei Gleichung ist zu lösen. Dies mache ich i.A. mit dem Additionsverfahren, da das am wenigsten Schritte bedeutet und ziemlich übersichtlich ist..
8·(1) - (2): 4b + 6c = 1 (4)
27·(1) - (3): 18b + 24c = 0 (5)
Jetzt das ganze noch mal:
(5) - 4·(4): 2b = -4 => b = -2
Diese Lösung weiter einsetzen...c = 1,5; a = 0,5
Wenn Du den Fehler in Deinem GLS nicht findest, darfst Du mir das Problem auch näher schildern - Fehler suchen ist eine meiner Lieblingsbeschäftigungen :-D
vielen Dank für die nette Hlfe:) Ich werde mich dann mal an die Aufgabe begeben und nochmal versuchen den fehler zu finden...Habe es aber auf die gleiche weise versucht zu lösen-.- Sonst nenne ich dir gleich die Punkte und du kannst es ja mal versuchen;)
leider nein:( Die Punkte sind jedenfalls: P(0/0); Q(4/3.25); R(7.5/3.75) und S(10/4.25) wenn ich die lösung sehe, ist mein Fehler bestimmt einleuchtend.. Aber auch die Werte die mein Taschenrechner ausspuckt führen zu keiner Art von Vase oder Glasähnlichem. Naja dann aber viel Spaß beim Lösen:-)
oh so schnell vielen dank!! Leute wie du, geben mir die Hoffnung an die Menschen im Internet zurück:D Habe komischerweise das Gleiche heraus gehabt:0 Jedoch ist bei mir bei der Funktion mit Geogebra eine komplett andere Kurve zusehn..Mmh habe ich das wohl falsch eingegeben?
Jetzt hab ich die passende Idee: Hast Du Deine Vase um die y-Achse rotieren lassen? Dann wird es eher eine Schale. Lass den Graphen mal um die x-Achse rotieren!
Habe erst versucht das Gaußverfahren zu nutzen, aber dann zum Taschenrechner gegriffen, da das ja schier unmöglich ist:D Die Vase ist übrigens jetzt zu sehen yuhu...Habe einfach nocheinmal alles eingegeben und jetzt klappt´s. Meine vermutung ist, dass ich einfach bei der Dezimalschreibweise die negative Potenz, beim Wert b vergessen habe.. Habe da wohl an der falschen Stelle versucht meinen fehler zu finden:)
Vielen dank erstmal für die schnelle antwort:) Jedoch ist bei mir das Problem wie man von den Punkten, die man ja ablesen kann auf die Funktion kommt.
leider kommen bei meinem Gleichungssystem dann Werte heraus die eine völlig andere Funktion beschreiben (wenn man diese dann bei Geogebra eingibt)...