die grundidee zur Berechnung des Volumens eines rotationskörpers der entsteht wenn eine randfunktion f in einem gegeben intervall[a;b]um die x Achse rotiert?m?
Was ist die grundidee?
4 Antworten
Durch das Integral bekommst du die halbe Querschnittsfläche und durch die Rotation das Volumen.
Hast dafür ja eine Formel.
Die Grundidee ist dieselbe, mit der die Fläche unter einem Funktionsabschnitt berechnet wird.
Bei der Fläche zerlegt man den Bereich unterhalb der Funktion in viele kleine Balken, deren Höhe durch die Funktion bestimmt wird. Anschließend addiert man diese Flächen in einer Summenformel.
Beim Rotationskörper um die x-Achse zerlegt man den Körper in viele kleine runde Scheiben, deren jeweiliger Durchmesser durch die Funktion bestimmt wird. Anschließend addiert man das Volumen dieser Scheiben in einer Summenformel.
Volumen=Grundfläche *Höhe
1) eine Zeichnung mit einem x-y-Koordinatensystem machen
2) einen kleinen Streifen einzeichnen mit der Breite dx
Bei der Rotation des Graphen entsteht ein Kreis,weil dx sehr klein ist
Kreisfläche A=r²*pi
aus der Zeichnung sieht man
dV=dA*dx mit dA=r²*pi mit r=y=f(x)
dV=r²*pi*dx nun integrieren
Integral(dV)=Integral(y²*pi*dx=pi*Integral(y²*dx)
V=pi*Integral(y²*dx) dies ist die Formel,wie sie im Mathe-Formelbuch steht.
Kapitel,Anwendung Integralrechnung.
Keine Ahnung , was genau gemeint ist.
Aber klar ist : Wenn eine Fläche um eine Achse um 360 Grad gedreht wird , überstreicht sie im Raum etwas , was man Volumen nennen kann.
Geht ja nicht bei allem : ein Rechteck rotiert und ein Zylinder entsteht. Ein Dreieck : ein Kegel. Eine Parabel : Ein Paraboloid ...........
aber was nimmt man , um einen Würfel zu erzeugen ?
Und was macht ein Halbkreis ? Viertelkreis ?
weist du, das problem ist einfach - sobald etwas rotiert, gewinnt es unendlich viele eck-punkte dazu - egal um welche achse, und dann auch noch mal mehr oder weniger viel unendlich-viele..
wir menschen, haben da ein paar fehler gemacht, egal wie du das jetzt fundieren wirst.
Er meint wohl die Formel V=pi*Integral(y²*dx) (Rotationskörper um die x-Achse)
und wie man diese herleitet.