Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers - Lösungsweg?

Hallo,

Die Schnittfläche der Graphen f(x) = -x² + 4 und g(x) = -x + 2 rotiert um die x-Achse.

Ich soll das Volumen des Rotationskörpers berechnen.

Man muss zuerst die Funktionen gleichsetzen, um die Nullstellen zu berechnen.

0 = x² – x – 2

x1 = 2 x2 = -1

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers lautet:

V = π ⋅ ∫ a b (f(x))² dx

↳ V = π ⋅ ∫ (2) (-1) (x² – x – 2)² dx = 8,1π = 25,44 VE

Ein anderer Lösungsweg ist die Funktionen einzeln zu berechnen, jedoch kommt man auf ein anderes Ergebnis:

V = π ⋅ ∫ (2) (-1) (-x² + 4)² dx = 153/5π

V = π ⋅ ∫ (2) (-1) (-x + 2)² dx = 9π

V(gesamt) = 153/5π - 9π = 21,6π = 67,85 VE

Weiß jemand, welcher Lösungsweg richtig ist? Könnte jemand mir erklären, warum man auf unterschiedliche Ergebnisse kommt?

Danke im Voraus

Answer 1

[debaser36]

Also, erstmal rechnest du keine Nullstellen in dem Sinne aus, sondern Schnittstellen.
Aber haste ja auch richtig gemacht.

Zweitens machst du mit den Formeln verschiedene Dinge. Musste aber ganz schön knobeln, warum eigentlich.

Ich versuchs mal intuitiv zu erklären.

Du nimmst eine Funktion f1, und eine Funktion f2, machst daraus g : f1-f2,

und berechnest jetzt ein Integral über g zum Quadrat und multiplizierst mit Pi.

ODER du nimmst eine Funktion f1, quadrierst sie, multiplizierst sie mit Pi (ist ja egal ob vorher oder nachher) und bestimmst das Integral, nimmst eine Funktion f2, quadrierst sie, multiplizierst sie mit Pi, bestimmst davon das Integral und ziehst die Integrale von völlig neuen Funktionen voneinander ab.

Merkste schon was?

Also, nochmal fachlicher: (a-b)^2 != (a^2-b^2)