Richtige Schreibweise von Umkehrfunktionen?
Hallo,
ich mache in Mathe gerade ein Referat zu Rotationskörpern und bin im Zusammenhang damit auch auf Umkehrfunktionen gestoßen, da man diese für das Berechnen des Volumens und der Mantelfläche bei Rotation um die Y-Achse benötigt.
In der Formel für den Rotationskörper heißt es immer f^-1 (y) und dann entsprechend am Ende des Integrals auch dy.
Ich habe jetzt geschaut wie man eine Umkehrfunktion bildet: 1. nach x auflösen 2. x und y vertauschen. Aber dann hieß es auf einmal f^-1(x)= irgendeine Funktion mit x.
Wo liegt denn jetzt der Unterschied zwischen f^-1(y) und f^-1(x)? Und was davon brauche ich dann zur Berechnung für den Rotationskörper?
Würde mich freuen wenn mir das jemand kurz erklären könnte :)
1 Antwort
Bei der Funktionsgleichung y=... ist der y-Wert (Funktionswert) von x abhängig, daher ja f(x). Löst Du diese Gleichung nun nach x auf, erhältst Du die Umkehrfunktion, bei der "erst einmal" die x-Werte von y abhängen, daher f^-1(y); das "^-1" um zu symbolisieren, dass es sich hier um eine Umkehrfunktion handelt. Vertauscht man nun x und y, dann ist wieder y von x abhängig. "von x" ist vertrauter als "von y"; einen anderen Grund wüsste ich jetzt auch nicht...
Soll z. B. f(x)=x²+1 um die y-Achse rotieren und das entstehende Volumen von y=1 bis 3 berechnet werden, kannst Du ohne zu tauschen von y=1 bis 3 f^-1(y)dy integrieren, oder Du tauschst x und y (wie man es bei "normalen" Umkehrfunktionserstellungen macht, wenn es nicht um Rotation geht), dann musst Du halt von x=1 bis 3 f^-1(x)dx integrieren.
Wir haben "damals" immer erst die "komplette" Umkehrung gemacht, also auch x und y getauscht und dann eben wie gewohnt eine von x abhängige (Umkehr-)Funktion integriert.
Das ist sehr hilfreich, vielen Dank! Ich denke ich hab’s jetzt verstanden