Wie berechne ich diese Wand (Rotationskörper)?
Es geht um eine Übungsaufgabe für eine Klausur. Gegeben ist eine Funktion die einen Kühlturm bis zur Größe 100m beschreibt. Man soll nun das Volumen der 1m dicken Mauer errechnen. Meine Idee war die Kurve eine Einheit nach unten zu schieben, das Volumen auszurechnen und dieses von dem eigentlichen Gesamtvolumen abzuziehen. Doch irgendwas mache ich wohl falsch. Die Funktion lautet:
f(x) = (Wurzel aus) 0,02x^2-3,76x+400
Der Radius beträgt also 20m. Schon viel versucht, doch nichts hat geklappt. Hat wer eine Idee oder kann mir helfen?
2 Antworten
Aus den Mathe-Formelbuch "Volumen von Rotationskörpern
V= pie * Integral y^2 * dx bei Rotation y=f(x) um die x-Achse
Vy= pie * Integral x^2 * y´ * dx bei Rotation y=f(x) umgeformt x= g(y) um die y-Achse.
Volumen der Wand = Volumen außen minus Volumen innen
Volumen außen V= pie S (0,02 * x^2 - 3,76 *x +400) *dx
V= pie * (0,02/3 * x^3 - 3,76 /2 * x^2 + 400 *x ) + c dies ist das Volumen des gesamten Turms
PROBLEM ist nun die Wand von 1m dicke Formel wäre
y= (0,02 * x^2 - 3,76 * x + 400)^0,5 - 1m dies führt aber zu einen Integral,was ich nicht lösen kann.
TIPP : Investiere nicht so viel Zeit in diese Aufgabe .Lass sie dir vom Pauker vorrechnen,der kassiert schließlich 3500 Euro pro Monat oder mehr !!
f(x) = √(0.02 * x ^ 2 - 3.76 * x + 400)
g(x) = √(0.02 * x ^ 2 - 3.76 * x + 400) - 1
Weitere Vorgehensweise -->
1.) Berechnung des Volumens mit der Funktion f(x) als erzeugende Kurve
2.) Berechnung des Volumens mit der Funktion g(x) als erzeugende Kurve
3.) Volumen aus 1.) Minus dem Volumen aus 2.)
1.) pi * ∫ ( f(x) ) ^ 2 von 0 bis 100 = 87545.7152800 m ^ 3
2.) pi * ∫ ( f(x) ) ^ 2 von 0 bis 100 = 77416.3144876 m ^ 3
3.) 87545.7152800 m ^ 3 - 77416.3144876 m ^ 3 =
10129.4007924 m ^ 3
http://www.zweigmedia.com/RealWorld/integral/integral.html
Diese Webseite kennt kein pi und kein √ , sodass man für pi die Dezimalzahl von pi und für das Wurzelzeichen die Identität (...) ^ (1 / 2) benutzen muss.
Die Buchlösung ist falsch !!! Dort wurde vergessen mit pi zu multiplizieren !, multipliziere 3224.29 mal mit pi, dann wirst du es merken !!
Habe ich mir schon gedacht, weil das Pi bei den anderen Antworten dabei war! Typischer Fehler von diesem Lehrer. Vielen Dank!
Ich muss sagen er ist eigentlich ein sehr guter Mathelehrer, ziemlich strukturiert und hilfsbereit. Aber bei ihm gibt es halt wirklich den Tittenbonus (Innerhalb des Unterrichts) und außerdem sind seine Formulierungen besonders in Arbeiten extrem Irreführend :D
Ok, die Geschlechter muss er schon gleich behandeln und glasklar sollten seine Formulierungen auch sein.
Das ist ja ungefähr wie ich es auch machen wollte. In den Lösungen steht aber 3224,29 m^3 ...