Aufgabe Rotationskörper?
Hallo, ich habe eine Aufgabe zu Rotationskörpern, und zwar muss ich das Volumen eines Bierglases berechnen. Aufgabe lautet wie folgt:
Genaues Ausmessen eines Weizenbierglases führt zu oben dargestellter Rand-Funktion f mit der Funktionsgleichung: f(x)=– 0,0014 x³ + 0,0489 x² – 0,3478 x + 2,76 (Der Boden des Glases hat also einen Durchmesser von 5,52 cm, die Gesamthöhe des Glases beträgt 23 cm). Auf der Höhe von 18,15 cm befindet sich eine 0,5 l Marke. Zeige, dass die Marke korrekt ist.
Nun, ich habe die Grenzen 5,52 und 18. Aber ich komme immer auf 415VE. Laut Lösung soll es aber 503 sein. Kann mir jemand den Rechenweg genauer erläutern? Danke im voraus
1 Antwort
Hallo chriskll
Ich habe solche Rechnungen mit Rotationskörpern das letzte Mal vor gut 60 Jahren gemacht und bin daher nicht ganz sicher, ob mein folgender Gedankengang richtig ist, will ihn dir aber trotzdem zeigen:
Wenn ich es richtig verstehe, dann gibt die Funktions f(x) jeweils den (Innen-)Radius r(x) des Bierglases abhängig von der Höhe x (Höhe über dem Glasboden) an. Das (Innen-)Volumen V des Glases setzt sich demnach aus vielen Volumenelementen mit dem Volumen dV = r²pi*dx zusammen. Das Volumen zwischen x=0 und x=18,15 (alle Einheiten in cm, cm² und cm³) müsste demnach sein
V(18,5) = Integral(r²(x) * pi)dx von x=0 bis x=18,15 =
= pi*Integral (-0,0014x³+0,489x²-0,3478x+2,76)²dx
von x=0 bis x=18,15
Man muss also r(x) = f(x) erst quadrieren (eine mühsame Rechnung!) und das Ergebnis dann integrieren und den Integralwert an der Grenze x=0 vom Integralwert an der Grenze x=18,15 abziehen. Dabei fällt die Integrationskonstante C weg, der untere Wert für x=0 ist gleich Null, so dass man "nur" den Integralwert an der oberen Grenze berechnen muss.
Dein Fehler ist wohl, dass du als untere Grenze 5,52 statt 0 genommen hast.
Ich hoffe, mein Rechengang ist richtig. Schau aber vorsichtshalber im Internet unter dem Suchbegriff "Volumenberechnung von Rotationskörpern" nach.
Es grüßt HEWKLDOe.