GFS Rotationskörper Formel Herleitung unklar?
Hey Leute,
ich meld mich noch mal wegen meiner Mathe GFS.
Und zwar hätte ich eine Frage zur Herleitung. Diverse Quellen geben diese Formel als Zwischenschritt an:
V= lim(Delta x -> unendlich) * (Summe aus i=1 bis n) pi (f(xi))^2 * Delta x
Ich geb euch mal eine Internetseite an konnte die Formel leider nicht hier einfügen, da sich dann alles verschoben hat :
http://www.mathepedia.de/Rotationskoerper.html
Ich kann, dank zusätzlichen Erklärungen, die Formel nachvollziehen, jedoch blieb mir bisher unverständlich was es in der Formel mit dem i auf sich hat, das ja sowohl unter der Summe, als auch bei f(xi) steht.
Wäre lieb wenn mir jemand das erklären könnte:)
Danke im Vorraus und sorry wegen der unschönen Formulierung.
3 Antworten
Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse
Vx=pi*Integral y*dx
Beispiel: Volumen es Zylinders
1) x-yKoordinatensystem zeichnen
2) den Zylinder einzeichnen, Mittellinie ist die x-Achse und der Anfang liegt beim Ursprung
aus der Zeichnung entnehmen wir
dV=A*dx mit A=r^2*pi Fläche eines Kreise hier ist A=y^2*pi
y=r=f(x)=konstant
dV=y^2*dx nun integrieren ist die Aufsummierung der kleinen Volumenteile zum Gesamtvolumen
Integral dV=Integral y^2*pi*dx=pi*Integral y^2*dx
Vx=pi*Integral y^2*dx untere grenze xu=0 und obere Grenze xo=h
Vx="obere Grenze" minus "untere grenze" die Integrationskonstante C fällt dabei weg
Hinweis: Beim Kegel ist y=f(x)=m*x. Kegelspitze liegt im Ursprung. Mittellinie des kegels ist die x-Achse.
Man muss unterscheiden zwischen
a) symbolischer Integration (von nicht allen Funktionen ist die Integralfunktion bekannt), was auch unter
http://www.gerdlamprecht.de/Volumenintegrale.html
beschrieben ist und wo gezeigt wird, wie durch Integration der Kreisfunktion (da Rotationskörper ja in 1 Dimension {von 3} kreisförmig ist) man über die asin(x) Funktion zu Pi kommt.
Das konstante Glied kann man vor ein Integral schreiben, und so verringert sich das 3fach-Integral zu einem einfachen Integral.
b) numerischer Integration, wo keine Funktion bekannt ist, sondern wo per Messpunkt
x[i] numerisch, also Schritt für Schritt aufaddiert wird. (Integrieren ist Aufsummieren der Teilpunkte)
Wenn man n Messpunkte hat, bezeichnet man das auch als ein Feld oder Array aus Punkten: x[1], x[2], ... x[i], x[i+1], ... x[n]
Wenn man alle Punkte in einem Algorithmus durchlaufen möchte, schreibt man auch:
For i=1 to n
x[i]=... oder V=x[i]...
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Dieses i ist hier eine Laufvariable, die man besser auch als k bezeichnen sollte, da i als Wurzel (-1) (komplexe Zahl) reserviert ist.
Will man auf das 5. Glied zugreifen (also das mit Index 5), schreibt man x[5]
oder die 5 tiefer gestellt.
Indem dieses n immer größer wird, wird der Fehler aus den Teilsummen auch kleiner. Erst im Unendlichen stimmen a) und b) exakt überein.
(stell Dir das mit Wassertropfen vor: je kleiner sie werden, um so besser kommst Du zum idealen Wasser, das nur noch aus winzigen Molekülen besteht)
Das Delta ist ein Abstand, also die Differenz 2er Punkte: x[i+1]-x[i]
Man geht hier von konstanten Abständen aus.
Stichwort: Riemannsumme und Guldinsche Regel
Edit
Sah gerade, dass das ja im verlinkten Text vorkommt.
Das i bei f(x_i) bedeutet nur, dass du verschiedene aber konkrete f(x)-Werte summierst und das x nicht, wie vielleicht angenommen, für eine unbekannte Variable steht.