Quadratische Gleichungen -> dringend Hilfe?
Hallo,
ich habe hier eine kleine Aufgabe aus meiner Mathe-KA, die ich berichtigen soll. Allerdings fällt es mir schwer einen Lösungsansatz zu finden. Ich wäre für jeden Tipp dankbar!
Hier die Aufgabe:
Verlängert man alle Kanten eines Würfels um 4cm, so beträgt der Oberflächeninhalt 3750 cm². Berechne die Kantenlänge des ursprünglichen Würfels.
5 Antworten
Ein Würfel hat sechs quadratische Seiten. Den Oberflächeninhalt eines Quadrates berechnet man mit a*a, also a². Jetzt haben wir das sechs Mal, also lässt sich der Oberflächeninhalt vom Würfel mit A = 6a² berechnen.
Jetzt kennst du aber nicht die Seitenlänge von a, sondern nur den Flächeninhalt A, wenn er vergrößert wurde. Setze dies jetzt in die Formel ein und löse sie dann zur Seitenlänge a auf:
A = 6a²
3750 = 6a² |:6
625 = a² |√
25 = a
Damit wissen wir jetzt:
Die Seiten-/Kantenlänge des vergrößerten Würfels mit dem Oberflächeninhalt von A=3750cm² beträgt an jeder Kante 25cm. Die Aufgabe war aber:
Verlängert man alle Kanten eines Würfels um 4cm, so beträgt der Oberflächeninhalt 3750 cm². Berechne die Kantenlänge des ursprünglichen Würfels.
Also müssen wir nun noch 4cm abziehen, und dann wissen wir:
Der ursprüngliche Würfel hatte eine Kantenlänge a von 21cm.
Wenn Fragen sind, frag ruhig! :)
Hey,
das was du suchst, also deine Variable x, ist die Kantenlänge. Allgemein gilt:
O = 6× (Kantenlänge)^2,
also 6 mal die Oberfläche einer Seite.
Hier wurden zu deiner ursprünglichen Kantenkänge (also die, die du suchst) 4cm hinzugefügt. Dein Ansatz ist also:
6× (x+4cm)^2 = 3750 (cm^2? Stand nicht in deiner Angabe, achte auf die Einheiten)
Diese Gleichung löst du nun nach x auf.
Hoffe, das hilft dir
Oberfläche eines Würfels O=6*a² hat 6 Seiten und 1 Seite ist As=a² a=Kantenlänge
O=3750=6*(a+4)²=6*(a²+2*4*a+4²)=6*a²+48*a+96
binomische Formel (x+b)²=x²+2*b+b²
0=6*a²+48*a+96-3750 dividiert durch 6
0=a²+8*a-609 hat die Form 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel
x1,2=-p/2+/- Wurzel((p/2)²-q) mit p=8 und q=609
a1,2=-8/2+/- Wurzel((8/2)²-(-609))=-4 +/ Wurzel(625)
a1,2=-4+/- 25
a1=-4+25=21 cm
a2=-4-25=-29 cm fällt weg,weil negativ
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
Eine Fläche hat bei einem Würfel den Inhalt a^2. Insgesamt gibt es sechs solcher Flächen. Wenn du die Länge a um 4cm erhöhst, ist die ganze Oberfläche 3750 cm^2. Das notierst du einfach als Gleichung und löst nach a auf:
6 * (a+4)^2 = 3750 | :6
(a+4)^2 = 625 | Wurzel (nur positive, da a eine Länge ist)
a+4 = 25 |-4
a = 21
a: ursprüngliche Kantenlänge
6(a+4)^2=3750
Jetzt nur noch umformen.