probleme mit exponentialfunktionen....hat jemand eine Idee?
Hallo,
Die Aufgabe lautet:
"Zum Zeitpunkt t=1850 lebten auf der Erde y=1,17 Milliarden Menschen, t=1900 waren es bereits y=1,61 Milliarden und t=1950 y=2,50 Milliarden. Bestimmen Sie das mittlere Bevölkerungswachstum und berechnen Sie die erwartete Bevölkerungszahl für 2020. Nehmen Sie einen funktionalen Verlauf y = a · e^b·t an. Finden Sie die Antwort rechnerisch und zeichnerisch!"
ich habe da schonmal einen Ansatz, aber bin mir da echt nicht sicher. Ich glaube man muss nach e rechnen:
2,5Mrd=1,17Mrd*e^100
hierfür habe ich dann den Logarithmus angewendet
log100(2,137)=0,1649
wenn ich die Zahl aber wieder einsetze um die Lösung zu prüfen kommt was ganz anderes raus...kann mir da jemand vielleicht helfen?
ich danke sehr im Voraus <3
5 Antworten
Für 1850 ist t = 0
.
1.17 = a*e^(b*0) = a*1
also ist 1.17 gleich a
.
für 1950 ist t = 100
2.5 = 1.17*e^(b*100)
jetzt ln ( wegen e ,weil ln(e) = 1)
ln(2.5) = ln(1.17) + 100b
[ ln(2.5) - ln(1.17) ] / 100 = b
0.00759287 = b
0.0076 = b
.
mit t = 170 entsteht dann
f(170) = 1.17*e^((0.0076)*170)
4.25887
Welche Einheit ?
Den Ansatz hast du doch gegeben
(y = a * e^(bt))
Du musst mit den Zahlen "nur" a und b bestimmen.
In "deinem" Ansatz stellst du eine Gleichung auf, die nicht stimmt und die nichts bringt. Beide Seiten deiner Gleichung sind Konstanten, die unterschiedlich sind. (Etwa wie "3=5")
Was willst du damit ausrechnen?
2,5Mrd=1,17Mrd*e^100
Soll das eine Gleichung sein, um den Wert von e zu bestimmen? ;)
Ich denke, dein Problem ist, dass du das b irgendwo verloren hast.
ist das e die eulersche Zahl hier
Genau!
und das b das mittlere Bevölkerungswachstum
So kann man das nicht sagen, aber je größer b, umso höher ist die Wachstumsrate.
Und warum den natürkichen Logarithmus
Weil er die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist. So in etwa wie das Wurzelziehen die Umkehrfunktion des Quadrierens ist.
Keine Ahnung, wie du auf 250/117 kommst, ehrlich gesagt. :) Das Ding ist, die Wachstumsrate steigt ja mit der Zeit bei einer exponentiellen Entwicklung, deswegen hängt das mittlere Wachstum davon ab, welchen Zeitraum wie betrachten. Zwischen 1850 und 1860 ist die mittlere Wachstumsrate geringer als zwischen 2000 und 2010.
Nun, b wollen wir berechnen, um überhaupt eine Funktionsgleichung zu haben, mit der wir weiterarbeiten können. Denn im allgemeinen Ansatz tauchen ja die beiden Parameter a und b auf, die müssen erst mal ermittelt werden, damit aus dem Ansatz eine eindeutige Funktionsgleichung wird. Danach können wir die Funktionsgleichung natürlich nutzen, um die Bevölkerung zu irgendeinem Zeitpunkt berechnen, zum Beispiel im Jahr 2020.
Nein. ;)
Wenn du eine Wachstumsrate haben willst, dann bräuchtest du so etwas wie
(2,5Mrd - 1,17Mrd)/100J,
macht 13,3 Millionen Menschen pro Jahr. Das wär die mittlere Wachstumsrate im Zeitraum zwischen 1850 und 1950. In einem anderen Zeitraum sähe sie wieder ganz anders aus.
Bei der Aufgabe ist nicht klar, wie die mittlere Wachstumsrate berechnet werden soll. Ich gehe mal von den Jahren 1850 und 1950 aus.
mittlere Wachstumsrate innerhalb von 100 Jahren = 2500000/1170000 = 250/117
Ansatz:
f(t) = a * e^(b·t), wobei t = 0 dem Jahr 1850 entspricht.
f(t) = 1170000 * e^(b·t)
mit
e^(100*b) = 250/117
über ln() ergibt sich :
b ~ 0.0075929
Das Jahr 2020 entspricht t = 170
f(170) = 1170000 * e^(0.0075929·170) ~ 4,25 Milliarden.
Du musst den natürlichen logaritmus und nicht log100 verwenden
oh ..aber bei mir kommt 0,75929 raus, eingesetzt für e in die vorherige Gleichung zum Überprüfen kommt nicht wieder 2,5 Mrd. raus sondern 1,236*10^-3. Ich weiß irgendwie nicht wo bei mir der Fehler liegt, hab auch versucht die Nullen für Milliarden einmal wegzulassen bzw. mitzuschreiben, aber dennoch führt es nicht zum Ergebnis :/
...ich habe das b weggelassen weil ich nicht verstanden habe für was es stehen soll..deshalb dachte ich man braucht e um das mittlere Bevölkerungswachstum zu berechnen.🙈