exponentielle Zunahme bei der Bevölkerung?
a) Im Jahre 1950 lebten 2,5 Milliarden Menschen auf der Erde, 1980 waren es 4,5 Milliarden. Modellieren sie das Bevölkerungswachstum durch eine Exponentialfunktion und bestimmen Sie die Verdopplungszeit.Interpretieren Sie das Ergebnis.
b) Vergleichen Sie mit den Daten von 2005(6,4 Milliarden) und 1920 (1,8 Milliarden)
c) Prognose von 2005 für 2050: Anstieg auf 9,1 Milliarden. Wie lautet ihre Prognose
d) Wie groß war in ihrem Modell die Wachstumsgeschwindigkeit im Jahr 2000?
Ich hab schon mehrere Textaufgaben selbst gelöst, aber an manchen wie dieser hier scheitert es einfach...
6 Antworten
Bei solchen Aufgaben legt man eine Wachstumsfunktion auf Basis der Euler'schen Zahl e zugrunde.
e = 2,718281828....
Diese Zahl kann man auf jedem wissenschaftlichen Taschenrechner finden. Die Umkehrung davon ist der natürliche Logarithmus (ln).
Die Wachstumsfunktion für das Bevölkerungswachstum könnte man ausdrücken als:
n (t) = n0 * e hoch (α * t)
mit
n (t) = Bevölkerungszahl zur Zeit t (also dem späteren Zeitpunkt, ausgedrückt als Differenz zwischen der höheren Jahreszahl und der niedrigeren Jahreszahl)
n0 = Bevölkerungszahl zur Zeit t0, also dem früheren Zeitpunkt, der gleich Null gesetzt wird
t wird dabei in Jahren ausgedrückt
α = Wachstumskonstante
Du musst dann in diese Formel die vorgegebenen Bevölkerungszahlen und die Zeit t einsetzen und die Formel nach α auflösen.
In einem Zwischenschritt löst man also zunächst nach e hoch (α * t) auf und zieht dann (α * t) nach unten, indem man den ln anwendet. Dann teilt man noch durch t. Für Aufgabe a) wäre z.B. t = 30 Jahre.
Wenn man erst einmal die Wachstumsfunktion vorliegen hat, kann man anhand dieser alle möglichen anderen Fragestellungen beantworten.
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Die Verdopplungszeit ist z.B. diejenige Zeitspanne, für die gilt, dass
n(t) = 2 * n0
Logischerweise gilt dann auch:
e hoch (α * t) = 2
Da du dann ja α kennst, ist es ein Leichtes, diese Gleichung nach t aufzulösen. Hier kommt wieder die ln-Funktion des Taschenrechners zur Anwendung.
Der ln von e hoch "irgendetwas" ist genau dieses "irgendetwas" (also was im Exponenten gestanden hat).
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Als "Interpretation" könnte man dann schreiben: "Wenn das Bevölkerungswachstum auf der Erde einer Exponentialfunktion folgt, dann bedeutet das, dass sich die Weltbevölkerung innerhalb von ..... Jahren verdoppelt."
Meiner Meinung nach muss sich die Weltbevölkerung allerdings nicht unbedingt nach einer e-Funktion verhalten. Auf jeden Fall kann dies nicht ewig so gut gehen. Schließlich gibt es limitierende Faktoren, wie die vorhandenen Ressourcen auf der Erde (Nahrung, Rohstoffe, Trinkwasser, Platz), Ereignisse, die einen Teil der Bevölkerung vernichten (Kriege, Katastrophen, Epidemien) und politische Maßnahmen zur Regulierung des Wachstums.
Solche e-Funktionen sind recht zutreffend, wenn sich Bakterien in einem Nährmedium unter konstanten Bedingungen vermehren. Aber auch hier gilt: Änderst du bei der Bebrütung nur einen Parameter (z.B. die Temperatur), dann ändert sich auch sofort der Wachstumsfaktor α, und man kommt mit der Funktion auf keine vernünftigen Ergebnisse mehr.
α = log(4,5·10⁹ / 2,5·10⁹)/(1980–1950) ≈ 0,019593
Beachte, dass die Bevölkerung um 4,5/2,5 = 1,8 Mal innerhalb 30 Jahre gewachsen ist. Darum erwarten wird (zwecks Kontrollieren), dass die Verdopplungszeit ein wenig mehr als 30 Jahre dauert.
Die Verdopplungszeit ist gegeben durch die Lösung zu 2N₀ = N₀exp(αT). Also T = log(2)/α ≈ 35,38 Jahre. Das passt.
Hallo kreisfoermig,
du findest die Mathematik, die hinter diesen Textaufgaben steht, vielleicht einfach.
Aber möglicherweise ist dem Fragesteller nicht damit geholfen, wenn man ihm einfach eine Formel hinknallt.
Bitte werde niemals Lehrer, Elternteil oder Erzieher
Zur Prognose von Wachstumsfaktoren der Erdbevölkerung:
Verschiedene Zeiträume lassen auf verschiedene Wachstumsfaktoren schließen:
a) Der Zeitraum von 1950 bis 1980 ergibt: α = 0,01959
b) Der Zeitraum von 1920 bis 2005 ergibt: α = 0,01493
c) Wenn ich jetzt einmal selbst die Zahlen von 2005 (6,4 Mrd.) und 2017 (7,5 Mrd.) zugrundelege, erhalte ich aktuell: α = 0,01322
Eine weitere Quelle aus dem Jahr 2011 gibt mir an:
"Die Wachstumsrate der Weltbevölkerung – der jährliche prozentuale
Zuwachs – hat im Zeitraum 1965 bis 1970 mit zwei Prozent ein Maximum
erreicht und nimmt seitdem stetig ab, 2010 betrug sie noch 1,1 Prozent
und hat nach wie vor eine fallende Tendenz. "
http://www.bpb.de/izpb/55882/entwicklung-der-weltbevoelkerung?p=all
Wenn ich nun auf dem Stand von 2017 mit 7,5 Mrd. bin und für die Zeit bis 2050 (also 33 Jahre) einfach einmal ein α = 0,012 zugrundelege, ohne das jetzt konkret begründen zu können, so komme ich für 2050 auf eine Weltbevölkerung von 11,1 Milliarden.
Wenn ich aber davon ausgehe, dass die Wachstumsrate schon deutlicher absinkt, z.B. auf α = 0,009, dann lande ich im Jahr 2050 bei 10,1 Mrd. Menschen.
Damit wir im Jahr 2050 erst "nur" 9,1 Milliarden Menschen hätten, müsste die Wachstumsrate schon auf α = 0,0059 absinken.
Ob ein derart starkes Einknicken des Bevölkerungswachstums zu erwarten ist, lässt sich wirklich schlecht prognostizieren, weil es mehrere Unsicherheitsfaktoren gibt.
- Wie stark der Klimawandel demnächst sein wird, hängt z.B. von den Ergebnissen der aktuellen Weltklimakonferenz ab. Aufgrund von solchen Hohlköpfen wie Donald Trump muss man wahrscheinlich eher pessimistisch sein.
- Eine starke Erderwärmung hat nicht absehbare Folgen für die Fruchtbarkeit verschiedener Agrarregionen und somit die Möglichkeit der Ernährung der Erdbevölkerung.
- Migrationsbewegungen aufgrund des Klimawandels, der Globalisierung und von Kriegen/Unruhen/gescheiterten Staaten sind ebenfalls unkalkulierbar.
Pessimisten schätzen, dass sich die Menschheit vielleicht in 100 Jahren schon komplett selbst ausgerottet haben könnte.
Ich bin nicht sicher ob ich c) verstanden habe. Wie kommen Sie auf die Zahlen für 2017?
Und wie lässt sich d) beantworten?
Die Weltbevölkerung von 2017 habe ich einfach gegoogelt.
Ich weiß auch nicht sicher, wie ich den Aufgabentext von c) verstehen soll. Irgendjemand hat anscheinend im Jahr 2005 die Prognose abgegeben, dass die Weltbevölkerung bis 2050 auf 9,1 Mrd. Menschen ansteigen würde. Aufgrund welcher Zahlen wird auch nicht klar.
Nun sollte man als angesprochener Antwortgeber (Schüler o.ä., der diese Aufgabe gestellt bekommen hat), eine eigene Prognose für 2050 abgeben. Auch hier wird wieder nicht klar, welche Funktion oder welchen Wachstumsfaktor man zugrundelegen soll.
Ich habe deshalb einfach einmal wild herumspekuliert, wie sich die Bevölkerung mit verschiedenen Wachstumsfaktoren entwickeln könnte.
Und Aufgabe d) lässt sich auch nur beantworten, wenn man sich denn für ein "Modell", also eine bestimmte Exponentialfunktion mit einem bestimmten Wachstumsfaktor entschieden hat.
Die Realität ist jedoch komplexer, da der Wachstumsfaktor sich mit der Zeit ändert.
a) (2,5 • 10^9)^x = 4,5 • 10^9
wäre ein Vorschlag, da es sich um exponentielles Wachstum handelt.
b) Schau, ob Dein x auf 1920/2005 anwendbar ist oder ob es vielleicht größer ist.
c) Basierend auf der Änderung von (a) zu (b)
d) keine Ahnung
Ein Wachstum von 2,5 Mrd. 1950 auf 4,5 Mrd. sollst exponentiell darstellen.
Ein lineares Wachstum ließe sich als
2,5 • 10⁹ x = 4,5 • 10⁹
darstellen, aber das hast hier nicht.
1 • 10⁹ ist die Schreibweise für 1000000000, wenn die Nullen nicht ausschreiben willst.
Ich habe die andere Antwort nicht überprüft, aber zum Zeitpunkt t=0 gilt:
y(0) = 2.5*10^9
y(30) = 2.5*10^9 + a*exp(30*k) = 4.5*10^9
das sind die Gleichungen. Angenommen a=1:
=> exp(30*k) = 2*10^9
<=> 30*k = ln(2*10^9) ungefähr 0.72
Meinst du das so?
Derzeit werden alleine nur in Afrika alle 7 Tage, 1 Mio Kinder geboren. Kämen alle 12 Monate 50 Mio Menschen hinzu
Vielen vielen Dank, aber welche Werte muss ich dann bei a) einsetzen?