Hilfe bei Mathe (Logarithmus)?
Karl und Siggi haben sich für ihr Biwak bei 0 °C Außentemperatur Tee gekocht. Im Becher nimmt die Temperatur des Tees alle 5 Minuten um 10 % ab. Um wie viel nimmt sie pro Minute ab? Nach wie viel Minuten ist die halbe Kochtemperatur erreicht?
Hallo, also hier ist schon mal die Aufgabe. Kann mir bitte jemand helfen wie ich vorgehen soll oder wie die Gleichung lauten soll, das einzige was ich weiß ist das der Wachstumsfaktor alle 5 Minuten 0,9 beträgt. Die 0,9 sind ja die 10 % Abnahme alle 5 Minuten aber wie viel pro Minute?
4 Antworten
Dein Wachstumsfaktor stimmt. Für Abnahme ist er a = 1 - p/100
Bei p = 10 % bedeutet dies a = 0,90
Das ist nun deine Wachstumsfomel: ...... y = c * aⁿ
y = Endwert .......... c = Anfangswert ........ n = Anzahl Perioden
(Hier hatte ich eben einen verkehrten Ansatz. Ich wollte auf Stunden umrechnen. Ich komme gleich nochmal wieder.)
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Hier nun der Ansatz für die Abnahme auf die halbe Kochtemperatur:
50 = 100 aⁿ
n muss ausgerechnet werden. Dafür brauchst du den Logarithmus. Kannst du das? Sonst musst du um Hilfe schrei(b)en.
Kommentar!
Ganz einfach: 50° ist die Hälfte von 100°.
Daher ist y = 50° in der Formel.
c = 100°
Du sollst ja auf die Hälfte der Temperatur kommen.
Aber Achtung. Diese Formel basiert auf deiner Anfangsvoraussetzung mit a = 0,9 für 5 Minuten. Sie ist nicht auf 1 Minute heruntergerechnet! Das bedeutet, du bekommst das n auch auf 5 Minuten bezogen heraus.
100 aⁿ = 50 | /100
aⁿ = 0,5 | Umrechnen auf Exponentendarstellung
n = logₐ (0,5) (Die Basis ist a)
n = log₀.₉ (0,5)
n = log 0,5 / log 0,9 (geht auch mit ln)
n = 6,57
Da n auf 5 Minuten bezogen ist, heißt dies, dass die 50° erreicht sind nach
6,57 * 5 min ≈ 33 min
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Probe: 100 * 0,9^6,57
Richtig, es ist 0,9 pro Zeiteinheit. Die Zeiteinheit ist bei dir 5 Minuten.
Du brauchst also ein u, so dass
0,9^u = 0,9^1 ist, wenn man 5 min einsetzt. Deswegen ist u = t/5 min.
Das bedeutet, pro Minute verringert sich die Temperatur um den Faktor 0,9^(1/5)
Zur Probe kannst du bei 0,9^(t/5) für t = 5 einsetzen und siehst, dass du wieder auf 0,9 kommst.
Ok dann ist ja die Abnahme pro Minute 0,979 und wie komme ich jetzt nach wie vielen Minuten die halbe Kochtemperatur erreicht wurde? Ich weiß nicht wie ich die Gleichung aufstellen soll. Wo soll ich den Endwert oder Anfangswert entnehmen usw. :(
T1=To-To/100%*10%=To*(1-0,1)=To*0,9
T(t)=To*0,9^t mit t=1 ergibt
T(1)=To*0,9 den selben Wert muß nun T(5) haben
T(5)=To*0,9=To*a^5
0,9=a^5
a=5.te Wurzel(0,9)=0,979..
mit a=1-p/100% ergibt
p=(1-a)*100%=(1-0,979)*100%=2,1%
Probe : T(5)=To*0,979^5=To*0,9 bis auf Rundungsfehler
Hallo,
q^5=0,9
5*ln (q)=ln (0,9)
ln (q)=ln (0,9)/5
q=e^(ln (0,9)/5)
Herzliche Grüße,
Willy
Willy war schneller.
Von 1 bis 5 war die Entwicklung ja auch exponentiell, also man kann nicht einfach die Zeit durch 5 teilen, sondern muss auch hier logarithmieren.
HA für Willy!
wie kommst du auf die Gleichung 50 = 100 a^n könntest du mir das bitte erklären? :)