Mathematik-Aufgabe - Halbwertszeit?
Hallo - ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe, da ich nicht weiß, wie ich dabei vorgehen soll:)
Radioaktive Substanzen zerfallen exponentiell mit einer gewissen Halbwertszeit. Die Aktivität oder Zerfallsrate einer radioaktiven Stoffmenge ist die Anzahl der Kernzerfälle pro Zeiteinheit. Die Einheit dafür ist 1 Becquerel (1Bq), benannt nach Henri Becquerel, einem französischen Physiker. 1 Bq entspricht einem Zerfall pro Sekunde. Iod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Eine bestimmte Menge dieser Substanz hat eine Aktivität von 48 kBq.
Ergänzen Sie die Lücken des folgenden Satzes so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Die Aktivität ..., weil ...
Lücke 1
- ist nach 16 Tagen praktisch null
- ist nach 24 Tagen auf 6kBq gesunken
- nimmt pro Tag um 3kBq ab
Lücke 2
- drei Halbwertszeiten vergangen sind.
- eine Abnahme um 24 kBq innerhalb von 8 Tagen eine gleichmäßige Abnahme von 3 kBq pro Tag bedeuten.
- die Abnahme pro Halbwertszeit 24 kBq beträgt.
1 Antwort
Ich habe nun folgende Lösung gefunden:
Halbwertszeit: 8 Tage
N(t)=N0*a^t
N(0)=48
0,5N0 = N0 * a^8 -> a = 0,917 -> N(t) = 48 * 0,917^t
N(24) = 48 * 0,917^24 N(24) = 6kBq
Drei Halbwertszeiten sind vergangen, da: 48/2 = 24 / 2 = 12 / 2 = 6
Aus rein mathematischer Sicht zielsicher gelöst und fast ganz richtig.
Naja, fast. Die Aussage 48/2 = 24 / 2 = 12 / 2 = 6 ist eine Ideenskizze, wie man sie beim Nachdenken aufs Schmierpapier kritzelt, aber es ist keine gültige Gleichung, und sollte so in keiner Arbeit stehen, die man abliefert.
In Wirklichkeit ist dies keine rein mathematische, sondern eine physikalische Aufgabe, auch wenn sie im Mathematikunterricht nur als Beispiel für eine Exponentialfunktion dienen soll.
Aus physikalischer Sicht kann man die Lösung so nicht stehen lassen.
Bei einer Aussage wie N(t)=N0*a^t gehen rote Warnlämpchen an. Wenn t die physikalische Größe Zeit sein soll – wo ist die Einheit geblieben? Und was bedeutet der Ausdruck konkret?
N(t)=N0*a^(t / Tage) ?
N(t)=N0*a^(t / Sekunden) ?
N(t)=N0*a^(t / Halbwertszeiten) ?
Du meinst t / Tage, aber Du sagst es nicht. Man kommt nur dahinter, wenn man sieht, daß Du nachher die Zahl 8 verwendest und eine Halbwertszeit, also 8 Tage damit meinst.
Dann sagst Du: N(24) = 48 * 0,917^24 N(24) = 6kBq. Woher taucht nun die Einheit kBq plötzlich auf?
Diese Arbeitsweise, Einheiten verschwinden zu lassen und dann wieder aus der Luft zu greifen, ist in der Physik nicht erlaubt. Du hast die Aufgabe als Mathematik-Aufgabe bekommen. Dein Mathematiklehrer wird vielleicht keinen Anstoß daran nehmen und es wird ihm vielleicht nicht einmal auffallen. Im Physikunterricht würde Dir das aber als Fehler angestrichen, und ich empfehle deshalb: Gewöhne Dir bei solchen Aufgaben besser jetzt als später an, wie man richtig physikalisch rechnet. Das bedeutet, kurz gesagt: Man läßt grundsätzlich keine Einheiten weg. Sie gehören von Anfang bis Ende mit zur Rechnung. Und zwar nicht nur, weil es richtig ist. Es macht die Arbeit auch einfacher.