Berechnen Sie die Temperatur?

Die Temperatur eines Glases Tee beträgt 90 °C. Der Tee kühlt ab; die Temperaturdif- ferenz zur Raumtemperatur von 20°C nimmt jede Minute um 10% ab. Nach wie vielen Minuten beträgt die Temperatur des Tees nur noch 50°C?

Answer 1

[MichaelH77]

tunik123 hat dir bereits eine Lösung geschrieben

hier eine alternative Lösung:

Anfangstemperatur f(0)=90
zu Beginn beträgt die Temperaturdifferenz 70°

Temperaturdifferenz zur Raumtemperatur 20°C nimmt jede Minute um 10% ab:

$f(t)-20=70*0,9^t$

eine Abnahme von 10% bedeutet ein Wachstumsfaktor von 0,9

nach f(t) umgeformt:

$f(t)=70*0,9^t+20$

Zeitpunkt, zu dem der Tee 50° hat:

f(t)=50

$50=70\cdot0,9^{\ t}+20$ $t=\log_{0,9}\left(\frac{3}{7}\right)=8$

Comments

[LongLee]

Danke, ich kann das verstehen

[MichaelH77]

@LongLee

statt 0,9^t kannst du auch e^((ln0,9)*t) schreiben

[tunik123]

Ich habe Elektrotechnik studiert und mir deshalb die Enladekurve des Kondensators passend zurechtgebogen 😉.

Deine Lösung finde ich eleganter, weil sie den Umweg über die Zeitkonstante vermeidet.

[MichaelH77]

@tunik123

daran habe ich auch gedacht, für Schüler aber leider nicht ganz so leicht zu verstehen

als Ingenieur würde man auch den ln statt log_0,9 verwenden

Answer 2

[tunik123]

Wir betrachten die Temperaturdifferenz zur Endtemperatur 20 °C.

Am Anfang ist sie 70 K.

Also ist der zeitliche Verlauf der Temperaturdifferenz

$\Delta T=70K\cdot e^{\frac{t}{\tau}}$

Dabei ist

$\tau$ die (noch zu ermittelnde) Zeitkonstante.

Nach einer Minute ist die Temperaturdifferenz nur noch

$63K=70K\cdot e^{\frac{1\min}{\tau}}$

Also ist

$\tau=9.5\min$

Gesucht ist die Zeit, an der die Temperaturdifferenz 30 K beträgt

$30K=70K\cdot e^{\frac{t}{9.5\min}}$

$t=8\min$

Comments

[LongLee]

Ich verstehe nicht. Wo haben Sie 10% und 50 ° C verwendet?

[tunik123]

@LongLee

Wenn man von 70 K subtrahiert, hat man 63 K Temperaturdifferenz.

Und 50°C - 20°C = 30 K.