Problem bei einer Matheaufgabe zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen (Extremwertproblem)?
Hi,
wie du wahrscheinlich schon siehst habe ich ein Problem bei einer Aufgabe in Mathe. Ich fände es toll wenn mir bei der Aufgabe jemand zur Hand gehen würde, denn ich verzweifle langsam.
Die Aufgabenstellung und meinen bisherigen Fortschritt bei der Aufgabe ist auf den Bildern zusehen.
Kurzfassung der Aufgabenstellung auf einen Blick:
- Querschnitt eines Eisenbahntunnels mit aufgesetztem Halbkreis
- Flächeninhalt ist 45m^2
- Wann ist der Umfang am kleinsten und welche Maße müssen dafür gewählt werden?
3 Antworten
Hallo,
Nebenbedingung ist das, was vorgegeben ist, nämlich die Fläche von 45 m².
A=ab+0,5Pi*(b/2)²=45
Mit Hilfe der Nebenbedingung kannst Du eine Variable durch eine andere ausdrücken, so daß die Zielfunktion nur noch von einer Variablen abhängig ist:
ab=45-(1/2)*Pi*(b²/4)=45-Pi*b²/8
a=45/b-Pi*b/8
Umfang=2a+b+Pi*b/2
Einsetzen von 45/b-Pi*b/8 für a:
U=90/b-Pi*b/4+b+Pi*b/2=90/b+Pi*b/4+b=f(b)
f'(b)=-90/b²+Pi/4+1=0
90/b²=Pi/4+1=(Pi+4)/4
b²=360/(Pi+4)
b=Wurzel (360/(Pi+4))=7,099924212
a=3,549962106=b/2
Herzliche Grüße,
Willy
Die Zielfunktion ist U, nicht A (die Bedingung an A ist ja gerade die Nebenbedingung, minimiert soll aber der Umfang werden). Bei den Formeln für A1 und A2 ist ein Faktor 2 zu viel, aber A_ges ist wieder richtig.
Sonst schaut die Rechnung aber gut aus!
Danke für die Antwort, werde die Rechnung gleich verbessern :) Wüsstest du auch wie ich jetzt weiter machen muss?
Als nächstes solltest du die Nebenbedingung dazu nutzen, um eine der Unbekannten (r oder a) aus U zu eliminieren, sodass U nur noch von der einen verbleibenden Unbekannten abhängt. Danach kannst du wie gewohnt das Extremum mittels Nullsetzen der ersten Ableitung von U bestimmen.
Die Hauptbedingung (Hauptgleichung) liefert immer die gesuchte Größe.
Hier ist es der Umfang
Nebenbedingung ist die Gleichung für die Fläche
Umfang U=2*Höhe+Breite+halber Kreis
- U=2*h+b+r*pi
- A=b*h+r^2*pi/2 hier b=Breite des Rechtecks und h=Höhe des Rechtecks
aus 2 h=(A-r^2*pi/2)*1/b in 1 ergibt
U=2*(A-r^2*pi/2)*1/b+2*r+r*pi hier ist b=2*r
U(r)=1/r*(A-r^2*pi/2)+2*r+r*pi
U(r)=1/r*(A-r^2*pi/2)+r*(2+pi) mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio)
mit A=45m^2 minimum bei xmin=3,5499.. und ymin=25,35...
nun ein Kurvendiskussion durchführen
U(r)=A/r+r*(pi/2+2) abgeleitet
U´(r)=0=-A/r^2+pi/2+2 Quotientenregel (1/V)´=-1*V´/V^2
(1/r)´=-1*r´/r^2 mit r´=1 und r^2=r^2
A/r^2=pi/2+2 ergibt r^2=A/(pi/2+2)
r=Wurzel(45m^2/(pi/2+2))=3,5499..=3,55m
noch mal abgeleitet
U´(0)=-A/r^2+pi/2+2
U´´(0)=A*2/r^3>0 also ein "Minimum"
(1/r^2)´=-1* (r^2)´/(r^2)^2=-2*r/r^4=-2*1/r^3
U´´(0)=0=-A*(-2)/r^3=2*A/r^3>0
Vielen lieben Dank <3