Extremwertprobleme Aufgabe?
Folgende Aufgabe:
Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Maße gewählt werden, damit bei einer vorgegebenen Querschnittsfläche von 45m² der Umfang am kleinsten wird?
Mein Fortschritt:
U= pix + 2y+2x (Umfang Halber kreis + Umfang Rechteck, wobei die eine Seitenlänge des Rechtecks halb so groß ist wie der Radius vom Kreis, deshalb 2x)
A= (1/2)pix²+2xy
Weil wir ja die den Flächeninhalt gegeben haben A=45 m²
45m² = (1/2)pix²+2xy
Wie mach ich jetzt bitte weiter, ich kann das 0 auflösen geschweige denn normal in U einsetzen um U dann abzuleiten um die Extremstellen zu berechnen
2 Antworten
Zuerst eine Zeichnung machen,wo die Maße wählst r und h
r=Radius des Halbkreises
h=höhe des Rechtecks
Umfang=Halbkreis+2*Höhe+2*r
1) U=2*r*pi/2+2*h+2*r ist die Hauptgleichung
2) A=1/2*r^2*pi+2*r*2*h
Wir haben hier 2 Unbekannte,r und h und 2 Gleichungen,also lösbar
2) nach h umstellen und in 1) einsetzen
ergibt
U(r)=.... also eine Gleichung mit der "unabhängigen" Variablen r.
nun ableiten und die Extrema ausrechnen
U´(r)=0=.....
Ableitung,siehe Mathe-Formelbuch "Differentationsregeln"
besonders die Quotientenregel (1/v)´=-1*v´/v²
Wenn du die Extrema hast,dann prüfen,ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.
U´´(x)=...>0 dann ein Minimum
U´´(x)=<0 dann ein Maximum
Das sieht soweit ja schon gut aus.
Aus der Flächenformel drückst du dir nun y durch x aus, (oder umgekehrt), und setzt dies in die Umfangsformel ein.
Da der Umfang minimal werden soll, leitest du den Term, in dem du jetzt nur noch eine Unbekannte hast, nach dieser Unbekannten ab und suchst die Nullstelle.
Damit hast du einen Extremwert. du musst nur noch überprüfen, ob dies ein Minimum ist. Der Vollständigkeit halber ist dann noch zu überprüfen, ob es ein Randminimum gibt.
Schreib deinen Rechenweg an! Du kannst ja auch nach y auflösen.
Ja und wie löse ich nach x auf das geht gar nicht. Ich bekomme immer die Wurzel aus einer negativen Zahl raus