Kleines Problem bei Extremalproblemen
An sich kann ich es, aber irgendwie hakt es irgendwo bei mir und ich weiß leider nicht wo, deshalb bräuchte ich mal eure Hilfe. Die Aufgabe lautet: Ein Tunnel soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels 20 cm betragen soll? Der Tunnelsieht halt aus wie ein normaler. Unten ist es ein Rechteck, oben ein halber Kreis, welches über dem Rechteck liegt. Danke im vorraus.
2 Antworten
Wenn du die Grundseite deines Rechtecks (und damit auch den Durchmesser des aufgesetzten Halbkreises) mit x bezeichnest, und die Länge der beiden Seitenwände mit y, dann kannst du folgende Gleichung aufstellen:
U(x,y) = x + 2y + π * x/2 = 20 (Umfang des Halbkreises: π * r = π * x/2)
Gesucht ist aber die Querschnittsfläche, welche maximal werden soll, deswegen musst du diese auch in einer Gleichung beschreiben (wieder in Abhängigkeit von x und y). Für die Querschnittsfläche gilt:
A(x,y) = x * y + π * (x/2)² (Flächeninhalt des Halbkreises: π * r² = π * (x/2)²
Da diese Gleichung jedoch noch 2 Unbekannte hat, musst du zunächst einmal eine Unbekannte wegbekommen. Dafür musst du den Hinweis verwenden, dass der Umfang des Querschnitts 20cm betragen soll (also Gleichung (1)). Diese löst du entweder nach x oder nach y auf und setzt diese in die Gleichung für die Querschnittsfläche ein, so dass du dort nur noch eine Unbekannte hast. Dann hast du eine Gleichung mit nur einer Unbekannten und kannst von dieser das Maximum berechnen, indem du ihre Ableitung gleich null setzt. (Es müsste ein ganzzahliger Wert für die Querschnittsfläche rauskommen)
ich würde dir helfen, wenn du deinen Ansatz gibst ; Formeln für Rechteck und Halbkreis musst du ja wissen.
Der Flächeninhalt Av eines Kreises mit dem Radius r ist:
Av = π * r ²
Somit ist der Flächeninhalt Ah eines Halbkreises mit dem Radius r:
Ah = π * r ² / 2
Und daher gilt für den Flächeninhalt A des in der vorliegenden Aufgabenstellung beschriebenen Kreises (r = x/2):
A = π * (x / 2) ² / 2