Querschnitt eines Eisenbahntunnels?
Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Maße gewählt werde, damit einer vorgegebenen Querschnittsfläche von 45m² der Umfang am kleinsten wird?
Ich muss jetzt für die Funktion U(r)= 45/r - π*r/2 + 2r + πr die Ableitungfunktion bilden und dann auf Extremstellen untersuchen.
Nun weiß ich aber nicht, wie ich dies machen kann.
Bitte genau Erklärungung danke!
3 Antworten
45/r - π*r/2 + 2r + πr
Diese Formel kann nicht stimmen. Der Umfang muss die Einheit Meter haben. Der erste Summand hat 1/m. Nebenbei würde man - π*r/2 + πr zu π*r/2 vereinfachen.
die 45 steht für den Flächeninhalt mit Einheit m² (ergibt sich, wenn man die Flächenformel für diesen Querschintt nach h umstellt), somit bleibt m übrig, wenn durch r (Einheit m) geteilt wird
"Einfach" U(r) ableiten und Null setzen! Vorher besser, wie mjutu schon erwähnt hat, die "pi's" zusammenfassen.
Aus 45/r würde ich 45 * r^(-1) machen; dann kannst Du alles mit der Potenzregel ableiten.
Die Höhe des Rechtecks spielt keine Rolle?
Wenn sie aber gemeinsam eine Fläche von 45m² haben sollen und die Fläche nur von h und r abhängig ist (was der Fall ist), dann lässt sich damit ganz klar eine Funktion h(r) aufstellen. Die Überreste der NB sieht man ja auch noch mit 45m²/r in der ZF.
Ich will nicht ausschließen, dass ich gerade absolut Murks sage, aber eigentlich muss das doch passen 😂
Aber es soll doch nicht h minimiert werden, sondern der Umfang,
und der ist von h und r abhängig.
Angenommen, du hast irgendwelche Werte für h und r,
die eine Fläche von 45m² ergeben. Jetzt verkleinerst du r,
dann kannst du immer ein größeres h finden, das das ausgleicht.
Dann rechne es doch mal nach - ich habe d als Grundfläche des Dreiecks und Durchmesser des Kreises gesetzt und h ist die Höhe des Rechtecks:
A(d,h) = 45m^2 = d * h + pi * d^2 / 8
Das kann man nun nach h auflösen und in die Gleichung für den Umfang einsetzen, so dass der Umfang nur noch von d bzw r abhängt. Natürlich gibt es verschiedene Werte für d und h um auf eine bestimmte Fläche zu kommen. Aber trotzdem reicht das aus, um das Verhältnis zwischen d und h zu nutzen, um den Umfang so zu berechnen, dass er nur von d abhängt.
Nein ich soll alles in abhängigkeit von r berechnen, also U'(r)
Wenn r der Durchmesser des Kreises (nennen wir es lieber d!) und damit auch die Grundfläche des Rechtecks ist, und h die Höhe des Rechtecks, ist der Gesamtumfang:
Nun hast du noch die Bedingung, dass die Gesamtfläche 45m^2 ist:
Das kann man nun in die obere Gleichung einsetzen:
Stimmt es bis hier hin? Bitte nachrechnen. Wenn man das ableitet, wird daraus:
Das musst du nun auf 0 setzen. Ich komme dann auf d = 25.35