Extremwertproblemchen Nummer 2?
Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Maße gewählt werden, damit bei einer vorgegebenen Querschnittsfläche von 45m² der Umfang am kleinsten ist?
Das ist die Aufgabe. Ich habe auch eine Lösung, bin mir aber nicht sicher ob sie korrekt ist....Könntest du mir helfe?
Vielen Dank bereits im Voraus
2 Antworten
Hallo,
der Umfang des Tunnels berechnet sich nach 2r+2a+πr.
Die Unterseite des Rechtecks ist doppelt so lang wie der Radius des Halbkreises r, deswegen 2r, die beiden Seiten nennen wir mal a - und da es links und rechts eine gibt, haben wir 2a.
Dann kommt noch der Umfang des Halbkreises: π*r, also die Hälfte vom Kreisumfang.
f(a;r)=2r+2a+πr=r*(2+π)+2a ist die Zielfunktion, die maximal werden soll.
Die Nebenbedingung ergibt sich aus der Querschnittsfläche:
2r*a+πr²/2=45, also die Summe aus Rechtecksfläche und Halbkreisfläche.
Da die Zielfunktion von zwei Variablen, r und a, abhängig ist, kannst Du so ohne Weiteres nicht einen Extremwert bestimmen, denn einfach die erste Ableitung bilden und auf Null setzen, wie man es bei einer Funktion machen würde, die nur von einer Variablen abhängig ist, geht ja nicht.
Du hast nun zwei Möglichkeiten (wahrscheinlich noch viel mehr, aber ich könnte mit diesen beiden dienen), von denen die zweite die weitaus interessantere ist.
Die erste besteht einfach darin, die Nebenbedingung nach einer Variablen aufzulösen und den so gefundenen Term in die Zielfunktion einzusetzen, so daß diese nur noch von einer Variablen abhängig ist. Dann geht es konventionell weiter: Erste Ableitung bilden, auf Null setzen und anhand der zweiten Ableitung prüfen, ob es tatsächlich ein Minimum ist.
Das zweite Verfahren funktioniert mit partiellen Ableitungen und dem sogenannten Lagrange-Multiplikator.
Der Vorteil: Du kannst sofort Ableitungen bilden und sie auf Null setzen, egal, von wievielen Variablen die Zielfunktion abhängig ist.
Dazu setzt Du die Nebenbedingung auf Null:
2r*a+πr²/2-45=0 und multiplizierst Du mit dem Lagrange-Multiplikator Lambda (λ>0)
λ*(2r*a+πr²/2-45)
Der Ausdruck in der Klammer ergibt Null, das war die Bedingung.
Dann ist λ*(2r*a+πr²/2-45) natürlich auch gleich Null, denn irgendetwas mal Null bleibt Null.
Wenn Du diesen Term zu der Zielfunktion addierst, änderst Du sie nicht, denn Du addierst nur eine Null:
f(a;r;λ)=r*(2+π)+2a+λ*(2r*a+πr²/2-45)
Nun bildest Du partielle Ableitungen dieser Funktion nach a, nach r und nach λ und setzt jede von ihnen auf Null.
So bekommst Du ein System aus drei Gleichungen und drei Unbekannten, das lösbar sein sollte:
Bei den partiellen Ableitungen konzentrierst Du Dich jeweils nur auf eine Variable, die anderen behandelst Du wie normale Konstanten.
Für diese speziellen Ableitungen gibt es ein Zeichen: ∂
∂f/∂a ist die Ableitung nach a, also:
2+2rλ (2 und 2rλ sind Faktoren von a, die beim Ableiten übrigbleiben. Die anderen Terme sind hier nur Konstanten ohne a, die beim Ableiten verschwinden, du wendest also die ganz normalen Regeln für eine Ableitung an. So wäre die Ableitung nach x von 2x+3 einfach nur 2.)
∂f/∂r=2+π+2aλ+πr (wieder bleiben nur die Faktoren von r übrig, während die Ableitung von πr²/2 πr ist, denn der Exponent 2 wird zum Faktor, der das 1/2 aufhebt, während r² auf r reduziert wird (Potenzregel beim Ableiten).
Fehlt noch die Ableitung nach λ, das ist einfach die Nebenbedingung, die hier als Faktor von λ auftritt:
∂f/∂λ=2r*a+πr²/2-45
Diese drei Ableitungen setzt Du nun auf Null, weil Du ja einen Extremwert berechnen möchtest:
2+2rλ=0 (I)
2+π+2aλ+πrλ=0 (II)
2r*a+πr²/2-45=0 (III)
Gleichung I teilst Du durch 2:
1+rλ=0, daher: rλ=-1
rλ=-1 kannst Du in die zweite Gleichung einsetzen:
2+π+2aλ-π=0, daher: 2+2aλ=0, 1+aλ=0, aλ=-1=rλ
a und r müssen also gleich sein.
Du kannst also r für a in die dritte Gleichung einsetzen:
2r²+πr²/2-45=0
r²*(2+π/2)-45=0
r²=45/(2+π/2)=12,60223095
r ist daraus die Wurzel:
r=a=3,549962106
Du hast also einen minimalen Umfang, wenn der Tunnel ein Rechteck mit den Seitenlängen 2r und r und einem daraufgesetzten Halbkreis mit Radius r als Querschnitt besitzt.
Herzliche Grüße,
Willy
Wieso denn?
Die partiellen Ableitungen werden nach den gleichen Regeln wie die normalen Ableitungen gebildet, können also auch von Schülern gelöst werden. Auch Gleichungssysteme kommen im Schulalltag vor.
Mit der normalen Methode ist bei zwei Variablen Schluß, mit Lagrange hast Du viel mehr Möglichkeiten.
Man soll Schüler auch nicht unterfordern.
Wenn ich mir das als Geisteswissenschaftler, dessen Matheunterricht Jahrzehnte zurückliegt, selbst beibringen konnte, sollte das auch ein Schüler schaffen, der noch voll im Saft ist und ein besseres Gedächtnis besitzt als ich.
Hi Willy, vielen Dank für deine ausführliche Erklärung.....gutefrage.net erlaubt mir leider nur ein Danke zu geben ;-)
allerdings hat ein Kumpel das gleiche raus wie ich. Ca 5,7 als Durchmesser des Kreises, also seite a. Wir haben die Konventionelle methode verwendet und sind eigentlich ganz gut in mathe.....es müsste doch aber das gleiche rauskommen oder?
ich kannte dein verfahren bisher nicht und kann es daher nicht bewerten..... Was wäre bei dir die höhe des rechtecks?
Auch nach Eurer Methode komme ich auf r=a=3,549...
Habt Ihr daran gedacht, daß das Rechteck keine Oberseite hat, weil diese durch den Halbkreis ersetzt wird?
Du kannst ja nicht oben einfach einen Querbalken ziehen, sonst paßt die Lok nicht mehr durch.
Die Breite ist 2r, die Höhe des Rechtecks ist r, die Höhe in der Mitte ist 2r.
ich komme auf ca 6,7 als queerbalken
sorry Willy- aber das übersteigt ja völlig das niveau des fragestellers; (partielle ableitung etc) lass ihn doch mal selbst etwas mit nebenbed. und haupbed. zur lösung beitragen.