Wie rechne ich diese Mathe Aufgabe?

Ein Draht der Länge 20 cm soll eine rechteckige Fläche mit maximalem Flächeninhalt umrahmen. Berechne die Länge der Rechteckseiten.

Das ist die Aufgabenstellung ⬆️

Answer 1

[evtldocha]

Fläche F eines Rechtecks: $F\left(x;y\right)=x\cdot y$

Umfang U eines Rechtecks: $U\left(x;y\right)\ =\ 2\cdot\left(x+y\right)\ =\ 20\ \rightarrow\ y=10-x$

Daraus folgt: $F\left(x\right)=x\cdot\left(10-x\right)=-x^2+10x$

Nun den Extremwert dieser Funktion suchen: $F'\left(x\right)\ =\ -2x+10\ =\ 0\ \rightarrow\ x=5$ $y=10-x\ =\ 10\ -5\ =5$

(Anmerkung: Eine nach unten geöffnete Parabel hat nur ein Maximum)

Nicht ganz überraschend ist ein Quadrat das flächengrößte Rechteck bei gegebenen Umfang.

Answer 2

[nobytree2]

Eine Fläche hat Länge mal Breite, also F = l*b. Der Umfang ist U = l+l+b+b = 2*(l+b).

Wir wissen: U = 20 cm, dann können wir U nach einer Variablen umbauen: U = 20 cm = 2*(l+b) --> 2l + 2b = 20 cm --> l + b = 10 cm --> l = 10 cm - b

Die Fläche ist dann l*b = (10 cm - b) * b = 10cm * b - b²

Das können wir mit der Ableitung optimieren F(b)' = 10cm -2b = 0 --> b = 5cm, l=5 cm

Test F(b)'' = -2, es liegt also ein Maximum vor.