Oberflächeninhalt einer Pyramide (Vektoren)?
Hallo, kann mir jmd bei folgender Aufgabe helfen. Gegeben sind die Eckpunkte der Pyramide A(2/0/0) B(2/4/0), C(-2/4/0), D(-2/0/0) und S(0/2/6). Berechnen Sie den Oberflächeninhalt der Pyramide.
Ich habe die Länge der Kanten der Pyramide schon ausgerechnet das das auch in der Aufgabe bei a) zu tun war. Also AB, BC, CD und AD ergeben alle Wurzel 16 bzw 4cm. Dann habe ich die Kanten zum Punkt S ausgerechnet also AS,BS,CS und DS ergeben alle Wurzel 44 bzw 2 Wurzel 11. Aber wie komme ich auf den Oberflächeinhalt der Pyramide? Was ist die Grundformel wenn es um Vektoren geht?
Mir kommt die z-Koordinate von S komisch vor. Die Spitze liegt ja in derselben Ebene wie die Grundfläche. Das kann nicht sein.
ups habs grad korrigiert S(0/2/6)
3 Antworten
Mit der Spitze S(0/2/6) ist das eine gerade quadratische Pyramide.
Die Grundfläche hat die Kantenlänge 4.
Die dreieckigen Seitenflächen sind kongruent. Man versuchen, deren Fläche über die Kantenlängen auszurechnen, aber einfacher ist es, den Mittelpunkt M einer der Seiten des Quadrats zu betrachten, z.B. der Mittelpunkt der Kante AD ist M(0/0/0).
Die Höhe des Dreiecks ist MS = (0/2/6), also Wurzel(40).
Die Grundseite ist 4 lang, daraus bekommt man die Fläche des Dreiecks.
Die gesamte Obelfläche der Pyramide ist dann die Fläche des Quadrats plus 4 mal Fläche des Dreiecks.
Und diese Formel kann ich dann auch bei jeder Pyramide anwenden oder?
Wenn die Spitze nicht genau über der Mitte der Grundfläche liegt, muss man die Flächen der Dreiecke einzeln ausrechnen und addieren, weil sie dann nicht mehr gleich groß sind. Und wenn die Grundfläche nicht quadratisch ist, geht a² auch nicht mehr so einfach.
Ohh okay und wenn die Grundfläche nicht quadratisch ist muss ich ja a^2 durch a*b ersetzen oder? Damit ich die Grundfläche habe und dann wie du gesagt hast die einzelnen Dreieck ausrechnen. Und dann einfach die Flächen der 4 Dreiecke und die Grundfläche der Pyramide zsm addieren?
Ja genau so geht das. Und wenn die Grundfläche nicht einmal rechteckig ist, wird es zwar etwas komplizierter, das Prinzip bleibt aber immer dasselbe.
Okay verstehe, Danke für die ausführlichen Antworten!
sorry ich hab noch eine Frage, will auf Nummer sicher gehen wenn ich z.b bei einem Dreieck die einzelnen Dreivke auszurechnen habe muss ich dann z.b bei meiner Aufgabe beim Dreieck ABS dann AB+BS+AS also Wurzel 16+2Wurzel11+2Wurzel 11 rechnen? Also wenn man einfach ausgehen würde dass die Spitze von dem Dreieck in der Aufgabe nicht über der Mitte der Grundfläche liegt.
Ganz so einfach ist es nicht. Wenn es nicht gelingt, die Höhe zu berechnen, hilft nur noch die Formel von Heron:
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Heron
Normalerweise berechnet man Flächen mit dem Kreuzprodukt zweier Vektoren, wie von Mathetrainer vorgeschlagen. Das ist aber für irgendwie im 3D-Raum liegende Flächen nicht ganz einfach.
Und noch eine Frage, hier steht zum Beispiel dass ich begründen soll warum die Strecke vom Ursprung zu S die Höhe in dem Dreieck ADS ist. Ich hab mir auch eine Zeichnung angefertigt aber ich kann das trotzdem nicht begründen/verstehen
Dazu müsstest Du beweisen, dass MS (M Mittelpunkt von AD) und AD senkrecht aufeinanderstehen. (Das hatte ich in meiner Antwort aus Symmetriegründen stillschweigend vorausgesetzt.)
Am besten, man berechnet das Skalarprodukt aus AD (-4/0/0) und MS (0/2/6). Das ist 0, also stehen die Strecken senkrecht aufeinander.
die Höhe der Pyramide ist 6 cm
dann ist die Höhe eines Dreiecks der Seitenfläche gleich
h² = 6² * 2² = 36 + 4 = 40
h = wurzel aus 40 = 6,32 cm
Also, die Grundfläche hast du ja schon, das ist ein Quadrat, also 16 FE.
Jetzt die 4 Seiten. Da nimmst du einfach die Flächenformel für Dreiecke, ich schreibe sie dir für das Dreieck ABS mal hin:
Also die Hälfte des Betrages des Kreuzproduktes aus AS und BS.
@Loulou1236
Das habe ich rechnerisch nicht geprüft, dazu fehlt mir die Zeit. Ich wollte dir lediglich die einfachste Formel für solche Berechnungen liefern. Mit dieser Berechnungsformel für Dreiecke brauchst du weder Höhe noch Grundseite, noch musst du wissen, ob sie gleichseitig, gleichschenklig, spitzwinklig, stumpfwinklig oder Gott weiß was sind, diese Formel funktioniert für jedes beliebige Dreieck.
Das ist ja alles richtig und der universelle Ansatz für solchen Flächenberechnungen.
Aber Loulou kennt wahrscheinlich das Kreuzprodukt nicht.
@Loulou1236
Ach und noch was, deine Pyramide ist ja gleichmäßig. Also Ergebnis mal 4 + 16 ist die Oberfläche.
@tunik123
Woher willst du das wissen, dass sie das Kreuzprodukt nicht kennt? Sie hat ja schließlich etwas ausgerechnet mithilfe der Formel. Sie hätte bestimmt Rückfrage gehalten, wenn sie es nicht kennen würde.
das Wäre ja dann eingesetzt einfach: 4^2 +4*0,5*4*6,32 und das würde 66,56 ergeben