Ist das die richtige Lösung zu Aufgabe 2b?
Hallo,
wir haben letzte Woche mit Monotoniesatz angefangen, aber ich war krank und weiß jetzt nicht wie das alles geht. Ich habe mir erklärvideos angeguckt und weiß jetzt folgendes:
- Dass, das Monotonieverhalten angibt, ob der Graph einer Funktion in einem Intervall steigt oder fällt und dass, wenn der monoton steigt ist f‘(x) im Intervall >_ (größer gleich) 0 und wenn der monoton fällt ist es dann andersrum und zwar wird f‘(x) im Intervall <_(kleiner gleich) 0.
- streng monoton steigend, wenn: f‘(x) im Intervall >0
- Sterne monoton fallend, wenn: f‘(x) im Intervall <0
Mehr weiß ich nicht und die Lehrerin hat uns Hausaufgaben gegeben, aber das Problem ist ich weiß nicht wie ich anfangen soll und wie ich die Aufgabe machen soll, weil ich nicht in der Schule war als sie damit begonnen hat.
Es wäre sehr nett, wenn jemand mir das erklären kann und mir dabei helfen, weil ich muss es verstehen sonst kann ich später auch nichts verstehen.
Aufgabe 2b + 6a
Für Erklärung und Hilfe würde ich mich riesig freuen. Danke im Voraus:)
Würde das richtig sein? Zu Aufgabe 2b?
1 Antwort
Zur 2b:
Wenn ihr das Thema Extrempunkte schon behandelt habt, dann kannst du die lokalen Extrempunkte einfach aus dem Graphen ablesen.
Um dein Verständnis für Ableitungen und Monotonieverhalten zu verbessern, könntest du bei dieser Aufgabe auch grafisch die Ableitung bilden und dann anhand der Monotonie-Kriterien analysieren.
Jedoch kann man sich das Leben auch leichter machen, indem du dir einfach den Verlauf der Funktion anschaust.
In der Schulmathematik kann man die Monotonie zunächst auch so beurteilen:
- Erhöht sich der Funktionswert (oder bleibt gleich) für größer werdende x-Werte, so ist die Funktion auf dem Intervall streng monoton steigend (monoton steigend).
- Verringert sich der Funktionswert (oder bleibt gleich) für größer werdende x-Werte, so ist die Funktion auf dem Intervall streng monoton fallend (monoton fallend).
Die zu bestimmenden Intervalle hast du bereits durch deine Extrempunkte gegeben (und durch den kleinsten und größten Wert des Definitionsbereichs der abgebildeten Funktion).
Zur 6a:
Hier hast du die erste Ableitung gegeben und kannst direkt deine recherchierten Monotonie-Kriterien anwenden. Die Intervalle definieren sich gemäß des Monotonie-Satzes anhand der Vorzeichenwechsel der Funktionswerte.
Die Hoch- und Tiefpunkte kannst du entweder durch entsprechende Extremwert-Kriterien mit der zweiten Ableitung begründen.
Alternativ kannst du die Funktion gedanklich, grafisch integrieren. Dazu kannst du wieder deine Monotonie-Kriterien benutzen:
- Wenn im bestimmten Intervall f' < 0 ist, wie muss das Intervall der Funktion f aussehen?
- Wenn f' = 0 ist, welche Aussage können wir dann über die Funktion f treffen?
Wenn du diese Fragen beantworten kannst, dann gilt es sich nur noch mal vor Augen zu führen, dass vor einem lokalen Tiefpunkt die Funktion monoton fällt und nach dem Tiefpunkt wieder steigt, (und bei lokalen Hochpunkten genau andersherum).
Ja, stimmt ich meinte die 2b.
Meine Beschreibungen gelten aber für alle drei Funktionen gleichermaßen.
Ist das richtig was ich gemacht habe, habe ein Bild hochgeladen
Nein, das stimm noch nicht ganz. Ein Tiefpunkt (hier auch: lokales Minimum) ist ein Punkt, an dem der Graph (im betrachteten Abschnitt) den kleinsten Funktionswert annimmt. Analog dazu ist der Hochpunkt (lokales Maximum) ein Punkt, an dem der Graph (im betrachteten Abschnitt) den größten Funktionswert annimmt.
Schau dir diesbezüglich noch mal deine Lösung an.
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Kurzer Einschub zu Formalia:
Üblicherweise schreibt man die Lösung in Form von Koordinaten auf. Also z.B.:
- Hochpunkt: (0 | 0)
- Tiefpunkt: (2 | -6)
Wenn es mehrere Hoch- und/oder Tiefpunkte sind (oder dein Mathe-Lehrer es ganz genau nimmt), dann gerne auch als Menge, z.B. HP = {(x1 | y1), (x2 | y2)}.
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Einzelne Punkte, hier die Extrempunkte, können keine Monotonie aufweisen. Die Bestimmung der Extrempunkte soll dir eine Hilfestellung geben, wann sich das Monotonie-Verhalten der Funktion ändert bzw. ändern könnte, d.h. du sollst anhand derer deine Intervallgrenzen bestimmen.
Du musst für jedes einzelne (sinnvolle) Intervall die Monotonie analysieren. Dazu kannst du so vorgehen:
- Intervall finden, in dem die Funktion ein eindeutiges Verhalten aufweist
- Intervall aufschreiben: z.B. I1 geht vom linken Rand bis zum Punkt (0|0), also schreibst du auf: I1 = [-4,0)
- Monotonie mittels der beschriebenen Kriterien analysieren
- Monotonie-Verhalten neben dem Intervall notieren
Beachte:
Die Kriterien aus dem Monotoniesatz gelten für die erste Ableitung f' und geben Auskunft über das Monotonieverhalten der Funktion f.
Deine Notiz ist damit falsch bzw. unvollständig. Es gibt ein einfaches Kriterium um zu entscheiden, ob es ein TP oder HP ist. Vielleicht hast du schon mal von dem Vorzeichenwechsel-Kriterium gehört:
Es liegt ein Tiefpunkt in der Funktion f vor, wenn ihre 1. Ableitung am Extrempunkt x0 das Vorzeichen von – nach + wechselt.
Es liegt ein Hochpunkt in der Funktion f vor, wenn ihre 1. Ableitung am Extrempunkt x0 das Vorzeichen von + nach – wechselt.
Wir sollten 2b machen und nicht 2a du hast dich wahrscheinlich verwechselt
Ich weiß echt nicht wie ich mit 2b anfangen soll ich verstehe es null