Monotonie beweisen Folge?
Wie beweisen ich die monotonie dieser Folge
an=8n / n^2 +1
Wie weise ich die monotonie nach mit der Differenz
an+1 -an < 0
Ich kriege es nicht hin es dann zu berechnen. Kann mir jemand das Ergebnis sagen?
8n / n^2 +1 oder 8n / (n^2 +1)
Also es ist ein bruch im Zähler ist 8n und im Nenner n^2 +1
2 Antworten
Hallo,
nur als Ergänzung:
Erklärung: die 8 wurde gekürzt, im zweiten Faktor wurden Zähler und Nenner durch n dividiert, und in der zweiten Zeile wurde der Zähler vergrößert, indem man 1/n durch 1 ersetzt hat.
Gruß
Im Zähler steht (n²+1), im Nenner n.
n im Zähler ausklammern: (n²+1) = n(n+1/n)
im Nenner steht immer noch n, jetzt n im Zähler gegen n im Nenner kürzen.
Du kannst die Differenz nach einigen Umformungen so schreiben:
Da der Term für jede natürliche Zahl n negativ ist, fällt die Folge monoton.
Genau an die Differenz dachte ich auch. Aber ich verstehe nicht wie man vom Anfang der Differenz z.b. auf deins kommt also was macht man denn für Umformungen und wie
Du bringst die Differenz a_(n+1) - a_n auf einen Nenner und vereinfachst den Zähler.
8(n+1)/((n+1)²+1) - 8n / (n² +1)
=8•[ (n+1)/(n²+2n+2) - n/(n²+1) ]
=8• [ (n+1)(n²+1) - n(n²+2n+2) ] / [(n²+1)(n²+2n+2)]
Der Faktor 8 und der Nenner entspricht schon dem Ergebnis. Daher betrachte ich nur noch den Zähler.
[ (n+1)(n²+1) - n(n²+2n+2) ]
= n³+n+n²+1 - n³-2n²-2n
= -n²-n+1
=(n²+n-1) ✓
🤓
Wo ist aber, als die 8 gekürzt wurde, das n im Nenner hin?