Verständnisproblem lim sup, lim inf?
Hallo liebe Community. Ich habe ein paar Probleme, dieses Thema völlig zu durchsteigen. Was mir derzeit Probleme bereitet:
lim sup soll ja der größte Häufungspunkt sein. lim inf der Kleinste. Aber was, wenn ich nur einen Häufungspunkt habe, betrachten wir die Folge:
Also eine alternierende Folge, die nach oben nicht konvergiert, nach unten aber schon, gegen 0. Wäre dann lim sup = lim inf = 0? Weil ja 0 dann der größte Häufungspunkt wäre, aber gleichzeitig ist a_n ja nicht nach oben beschränkt, also müsste ja lim sup = +inf gelten. Was ist nun richtig?
2 Antworten
Es geht dabei darum ob es ei Häufungspunkt ist oder nicht.
Wenn wir zB die Funk1/b betrachten dann ist die nach oben unbeschränkt aber es liegt kein Häufungspunkt bei unendlich.
Der Häufungspunkt ist hier eben 0.
Damit gilt lim inf = lim sup = 0 und weil beide gleich sind hat diese Folge einen Grenzwert lim = 0
Die Folge 1/n hat für n Gegen unendlich den Grenzwert 0 was soll daran falsch sein?
Ein Häufungspunkt hat die Eigenschaft dass die Punkte hier immer näher beieinander liegen das gilt hier für x->unendlich für den Wert 0
Ah sorry ich denke ich hab die Begriffe vermischt ich habe nicht vom lim inf oder lim sub gesprochen die sind anders definiert.
lim sup soll ja der größte Häufungspunkt sein
... Wenn die Folge nach oben beschränkt ist. Da deine Folge nicht nach oben beschränkt ist, ist der limsup unendlich.
Denn sup({a_k | k>= n} ) ist hier offensichtlich für jedes n unendlich, wenn man n gegen unendlich laufen lässt kommt also unendlich raus.
Wie kann ich beweisen, dass eine Folge keinen Häufungspunkt hat?
Tipp: wenn eine Folge einen Häufungspunkt hat, dann hat sie eine beschränkte Teilfolge.
Das stimmt doch nicht. Vor allem das letzte ist definitiv falsch.