Modulorechnung?
Wie kommt man auf folgende Rechnung?
Die Lösung meiner Professorin
4 Antworten
====== Vorbemerkung ======
Vermutlich meinst du:
[Mit dem Kongruenzzeichen „≡“ geschrieben.]
Denn wenn man...
... schreibt sieht das eher nach...
... aus, was falsch wäre, da 12 ≠ 2 ist.
[Es mag aber durchaus auch Mathematiker geben, die da etwas faul sind und trotzdem einfach 12 = 27 mod 5 schreiben. Man versteht ja auch eigentlich, was gemeint ist.]
====== Zu deiner eigentlichen Frage ... ======
„Wie kommt man auf die folgende Rechnung?
12 - 27 = -5 = -1 ⋅ 5“
Gar nicht! Die Rechnung ist offensichtlich falsch. Denn...
Ist vielleicht eher...
... gemeint?
============
Die Aussage...
... ist nach Definition der Kongruenz ganzer Zahlen genau dann wahr, wenn 5 ein Teiler der Differenz 12 - 27 ist.
Zum Nachrechnen der Definition, ob es also nun stimmt, dass 12 ≡ 27 mod 5 ist, muss man die Differenz 12 - 27 bilden und prüfen, ob 5 ein Teiler von 12 - 27 ist.
Nun muss man also prüfen, ob 5 ein Teiler von -15 ist. Dazu sollte man sich die Definition der Teilbarkeit in den Kopf rufen...
Eine ganze Zahl k ist genau dann ein Teiler einer ganzen Zahl n, wenn es eine ganze Zahl q gibt, so dass n = q ⋅ k ist.
Gibt es nun im betrachteten Fall mit k = 5 und n = -15 eine solche Zahl q? Ja, der Quotient q = (-15)/5 = -3 ist solch eine ganze Zahl. Und das soll der Teil „-15 = -3 ⋅ 5“ in der Rechnung „12 - 27 = -15 = -3 ⋅ 5“darstellen... dass dies die Teilbarkeit durch 5 zeigt.
Ja, da hat sich die Professorin wohl einfach verrechnet.
„12 - 27 = -15 = -3 ⋅ 5“ würde da passen.
„12 - 27 = -5 = -1 ⋅ 5“, wie die Professorin geschrieben hat, ist da falsch. (Vielleicht hat sie im Kopf aus Versehen mit 22 statt mit 12 gerechnet, oder ein ähnlicher Fehler.)
Als Beispiel:
28 = 10 mod 9
28 - 10 = 18 = 9 * k (und k = 2)
Hier habe ich jetzt die Kongruenz von 28 und 10 in Bezug auf mod 9 bewiesen, oder?
Also letztendlich versucht man nicht den Selben Rest herauszufinden, sondern man möchte damit die Kongruenz beweisen. Mit k = 2 und 9 * k = 18, sage ich also, dass 28 und 10 kongruent mit mod 9 sind?
Kann es sein, dass du das kongruenzzeichen statt = meinst? (Also 3 Striche)
Per Definition gilt, dass a und b kongruent bezüglich mod n sind, wenn a-b durch n teilbar ist.
Hier ist 12-27 = -15, also durch 5 teilbar und somit sind 12 und 27 kongruent bzgl mod 5
Ach, Kongruenz, Gleichheit, wenn man weiß, was gerade gemeint ist, dann ist das die durchaus übliche Schlampigkeit.
12 und 27 haben bezüglich der Division durch 5 den gleichen Rest (nämlich 2) - und das schreibt man dann als
12 = 27 mod 5.
Um zu bestimmen, ob zwei Zahlen bezüglich der Division durch eine Zahl den selben Rest haben, kann man entweder die beiden Zahlen tatsächlich durch die Zahl dividieren und die Reste vergleichen, oder man prüft, ob die Differenz der beiden Zahlen ein Vielfaches des Divisors (hier 5) ist. Das wird hier gemacht:
12 - 27
Wenn man modulo 5 rechnet, hat man nun eine Besonderheit: man kann nämlich einfach alle Stellen bis auf die letzte weg lassen, denn die davor sind ja alle durch 10 und damit auch durch 5 teilbar und fallen bei der Division durch 5 dann ohne Rest weg. Daher wird aus
12 - 27
eben
2 - 7
und das ist gleich -5, -5 ist gleich -1 * 5, also ein Vielfaches von 5, also sind 12 und 27 gleich, wenn man modulo 5 rechnet.
Als Beispiel:
28 = 10 mod 9
28 - 10 = 18 = 9 * k (und k = 2)
Hier habe ich jetzt die Kongruenz von 28 und 10 in Bezug auf mod 9 bewiesen, oder?
Wenn die Differenz ein Vielfaches von 5 ist, so haben Subtrahend und Minuend den selben Rest bei der Division mit 5.
a = k_1 • 5 + r_1
b = k_2 • 5 + r_2
a – b = (k_1 – k_2) • 5 + (r_1 – r_2)
Wenn nun
a – b = k • 5
ist, also die k = k_1–k_2 und r_1 – r_2 = 0, dann muss wegen der letzten Gleichung
r_1 = r_2
sein. Damit ist wegen
a mod 5 = r_1
b mod 5 = r_2
und r_1 = r_2, ganz einfach
a ≡ b (mod 5)
r_1 = r_2.
Ich habe mich schon total gewundert. Schau mal, das Bild, welches ich ergänzt habe. Das ist die Lösung meiner Professorin, aber sie scheint sich vertan zu haben.