Mittelwertsberechnung mit Werten kleiner Bestimmungsgrenze
Guten Morgen bzw Mahlzeit ...
Aktuelle Fragestellung meinerseits: Gegeben den Fall, man will den Mittelwert aus Zahlen bestimmen, die nicht genau bestimmt sind, gibt es da Regeln, wie vorzugehen ist ?
Soll heißen: Man analysiert 100 Proben, hat fuer einen Pruefparameter eine Bestimmungsgrenze (BG) von 0,5 ppm, hat 60 Messungen mit Werten < BG, 40 mit > BG und somit angegebenen Werten.
Wie fließen hier die Messungen mit < BG in die MIttelwertberechnung ein ? 0 ppm ? 0,5 ppm ? 0,25 ppm ? Fall zu Fall Analyse, ob thgeoretisch ueberhaupt vorhanden sein kann ? Oder voellig anders ?
Dankend grueßt
wyn
5 Antworten
Wenn die Werte zwischen Nachweis- und Bestimmungsgrenze liegen, würde ich den Zahlenwert direkt in die Mittelwertbildung eingehen lassen. Für Werte unterhalb der Nachweisgrenze (NWG) habe ich schon mal eine Empfehlung gelesen, diese mit 2/3 NWG in den Mittelwert eingehen zu lassen (das ließ sich irgendwie aus der angenommenen Verteilung der Werte unter der Grenze ableiten, Quelle habe ich aber gerade nicht parat).
Ansonsten muss man, wie auch schon geschrieben wurde, schauen, was man aussagen will. In der Dioxinanalytik z. B. addieren wir Toxizitätsäquivalente der einzelnen Kongenere (kein Mittelwert sondern Summenparameter) und erhält sog. upper bound values, indem alle Werte < BG als BG in die Summe eingehen; das gilt dann als worst-case-Szenario. Daneben unterscheidet man dann noch medium bound (Werte < BG werden als 0,5 BG eingerechnet -> most likely case) und lower bound (Werte < BG werden Null gesetzt -> best case).
Wie schon in anderem Kommentar geschrieben ... vielen Dank dir ... Antwort und der Link dazu loest meine Fragestellung passend wie Keks auf Auge ... wird Sternchen geben, solange jetzt nicht noch ein EierlegendesWollmilchFeierabendBierchen aus ner Ecke hervorgehuepft kommt ...
Grueßend
wyn
Wie man hier vorzugehen hat, hängt sicher auch davon ab, was erreicht werden soll.
Einfache Lösung:
Man berechne zunächst den minimalen Mittelwert UG und den maximalen Mittelwert OG und nehme diese als Grenzen des Intervalls [ UG , OG ].
Dabei ist UG der Mittelwert aller 100 Messungen, der sich ergibt, wenn man die Werte der 60 Messungen, die unterhalb der Bemessungsgrenze liegen, gleich Null setzt, also:
UG = ( 40 * M40 + 60 * 0 ) / 100
und OG der Mittelwert, der sich ergibt, wenn man diese Werte gleich BG ppm setzt, also:
OG = ( 40 * M40 + 60 * BG ) / 100
( Dabei ist M40 jeweils der Mittelwert aus den 40 "brauchbaren" Messungen)
Den Mittelwert M aller Messungen würde man dann als Mitte dieses Intervalls +/- die halbe Intervallbreite angeben, also:
M = ( OG + UG ) / 2 +/- ( OG - UG ) / 2
Dann hat man einen Mittelwert und eine maximale Abweichung in jede Richtung.
Ob und inwieweit diese Lösung brauchbar ist, muss natürlich der Anwender beurteilen.
Vielen Dank fuer den, meiner Ansicht nach, sehr guten und ausfuehrlichen Loesungsansatz und auch die rege Beteiligung an der restlichen Diskussion ... in der Hoffnung, dass nicht uebel nimmst, dass das Sternchen an Gustavus gehen wird, da die Antwort und der verlinkte Artikel auf die Problemstellung noch ein bißchen mehr passte wie Hintern auf Gefaeß ...
Grueßend
wyn
Ich weiß nun nicht, ob Du eine genaue Fehlerbetrachtung durchführen möchtest, aber ich gebe Dir von mir das folgende "Rezept" an die Hand:
Arithmetischer Mittelwert: x = Σ der einzelnen Messergebnisse xᵢ dividiert durch die Anzahl der Messergebnisse n
Richtigkeit R%: Das Maß für die Abweichung des Mittelwertes x vom Sollwert μ₀ bezogen auf den Sollwert. Durch die Richtigkeit werden grobe Fehler, die vom Istwert abweichen, erkannt, sowie systematische Fehler, die z.B. durch fehlerhafte Handhabung entstehen.
R% = ±[x - μ₀)•100 %]/ μ₀
Neben der Richtigkeit ist eine weitere Größe zur Beschreibung der Messergebnisse nötig. Dies wird deutlich, wenn man bei den Messungen z.B. die folgenden Messwerte erhalten hätte: x(1) = 1,011 mL. x(2) = 1,010 mL, x(3) = 0,987 mL, x(4) = 0,989 mL Die Berechnung des Mittelwertes ergibt x = 0,999 mL. Die Einzelergebnisse weichen wesentlich stärker untereinander ab. Wie weit die einzelnen Ergebnisse um den arithmetischen Mittelwert streuen, wird durch die
Standardabweichung s definiert. s ist die Streuung der einzelnen Messwerte um den Mittelwert.
s = ±Wurzel aus [Σ(xᵢ - x)²]/n-1)
Die Präzision V%: Sie erkennt zufällige Fehler, die sich beim Experimentieren nie ganz vermeiden lassen.
V% = (s•100%)/x
Das der vorliegenden Fragestellung zugrunde liegende Problem besteht (soweit ich es verstanden habe) aber doch darin, dass es bei mehr als der Hälfte aller Messungen gar keinen Messwert gibt, weil dieser Wert unterhalb der Bestimmungsgrenze liegt. Was nützen einem da all die schönen statistischen Größen, wenn man keine Werte hat, mit denen man sie "füttern" könnte?
Da gefällt mir der Ansatz, den Gustavus in seinem ersten Absatz beschreibt, doch deutlich besser.
Auch hier ein Dankeschoen ob der ausfuehrlichen Antwort, vor allem weil bei von mir verfolgten Diskussionen von deiner Seite immer sehr gute Antworten kamen ... aber, vielleicht auf Grund meiner etwas umstaendlich formulierten Frage, ist die Antwort am Thema vorbei ... Berechnungen bezueglich Mittelwert, Standardabweichung und Richtigkeit sind mir klar ... mir ging es um das, was die oberen 2 angesprochen haben ...
Grueßend
wyn
Kommt das nicht auf den vorliegenden Fall an?
Schließe nicht relevante Werte aus weiterer Betrachtung einfach aus.
Ich weiß nicht recht - damit würde man das Ergebnis doch erheblich verfälschen, denn das wäre ja gleichzusetzen damit, dass alle diese unbrauchbaren Messungen (immerhin mehr als die Hälfte aller Messungen) den Wert 0 ppm hätten. "Nicht messbar" bedeutet aber doch nicht "gleich Null" ...
Ich kenne mich mit seiner Problematik nicht wirklich aus, daher war ich in der Aussage etwas sparsam. Gut möglich habe ich das beschriebene Problem missverstanden.
Mein Vorschlag bietet lediglich einen weiteren möglichen Weg zur Datenanalyse - der vom Fragesteller nicht erwähnt wurde.
Sonst halte ich mich an den ersten Satz fest: die Situation ist entscheidend, wie man mit weiterer Berechnung verfährt.
Danke, ob der Antwort, aber die Messwerte kleiner der Bestimmungsgrenze sollen ja nicht als unbrauchbare Werte verworfen werden, denn es sind ja Ergebnisse, die aber unterhalb der Bestimmungsgrenze liegen, heißt, sie wurden bestimmt mit der Aussage, dass sie kleiner als in diesem Beispiel 0,5 ppm sind ... nur eine genaue Werteaussage ist in diesem Bereich nicht mehr moeglich
Grueßend
wyn
Normalerweise unterwirft man die gesamte Grundgesamtheit einem Ausreißertest. Hierzu gibt es verschiedenen Methoden der statistischen Qualitätskontrolle. So ein "Pi mal Daumen" Verfahren sollte man nicht machen da man hier nicht mehr begründen kann weshalb ein Ausreißer eliminiert werden muss. Anders liegt aber der Fall bei einer begründeten Fehlmessung, der fliegt sofort raus.
Auch hier ... danke, aber ... es sind ja keine Ausreißer ... Man hat z.B. 100 verschiedene Proben, 40 davon haben einen konkreten Wert fuer den Pruefparameter der oberhalb der Bestimmungsgrenze liegt, 60 wurden zwar richtig bestimmt, aber halt nur mit der Aussage, dass der Parameter irgendwo unterhalb der Bestimmngsgrenze liegt ...
Grueßend
wyn
Werte unterhalb der BG fallen in jedem Fall raus. Hier wäre keine Begründung für eine Richtigkeit gegeben.
Handelt es sich nicht um einen Kalibrierung, sondern um eine normale Analytik, dann werden auch alle Werte unterhalb der NWG eliminiert und werden bei der Mittelwertbildung nicht berücksichtigt.
Bei der Kalibrierung ermittelt man selbst den Abstand von BG nach NMG entsprechend DIN 32645 und hier werden alle Werte oberhalb BG benötigt.
https://bscw.uni-duisburg-essen.de/pub/bscw.cgi/d13198597/Qualitätssicherung%20durch%20DIN-gerechte%20Kalibrierung.pdf
Auf dieser Site wird die Vorgehensweise mit 2/3 NWG auch erwähnt:
http://ukammann.wordpress.com/2010/03/18/nachweis-und-bestimmungsgrenze-fur-anfanger/