Mehr. Dim. Analy. Maximum und Minimum mit Punktmenge bestimmen?
Grüße, ich bräuchte Hilfe mit dieser Aufgabe:
Mir ist die Begründung noch nicht ganz klar.
Meine Vermutung ist, dass man hier den Satz vom Maximum benutzen kann. Dafür muss die Funktion stetig und beschränkt sein und auf einem kompakten Intervall liegen. Aber die genaue Erklärung ist mir nicht so schlüssig. Ich vermute, dass man irgednwie sagen kann, dass die Punkte (x,y) auf einem Kreis in R^2 liegen (Weil x^2+2y^2=2 ein Kreis ist?) und es daher ein kompaktes, beschränktes Intervall ist, auf dem f(x,y) liegt. (Jedenfalls irgendwie in der Richtung vielleicht?)
Und wie ich das Minimum und Maximum von f auf der Menge bestimmen soll und die Punkte, verstehe ich leider auch noch nicht ganz. (Also im Grunde schon aber nicht an diesem Beispiel in der mehrdimensionalen Analysis)
Ich wäre für Anreize/Lösungen sehr dankbar.
*(x^2+2y^2=2 ist natürlich kein Kreis, sondern eine Ellipse)
2 Antworten
Für stetige Funktionen gilt, dass das Bild von Kompakten Mengen Kompakt sind. Wenn also E kompakt ist, ist f(E) kompakt, also eine abgeschlossene und beschränkte Menge in R. Somit hat f(E) ein minimales und maximales Element, f hat also ein Minimum und ein Maximum.
(Dein Satz vom Maximum lässt sich so nicht direkt anwenden, da im mehrdimensionalen keine Kompakten Intervalle gibt, vermutlich hattet ihr aber schon eine Erweiterung des Satzes im Mehrdimensionalen)
Eine Mögliche Erklärung weswegen E kompakt ist: da das E eine Ellipse ist, ist es auf jeden Fall beschränkt. Die Abgeschlossenheit bekommt man, indem man g(x,y)=x^2+2y^2 nimmt und man E durch g^1(2) (Also die Urbild Menge der 2) beschreibt. Da g stetig ist, und {2} abgeschlossen ist, muss E auch abgeschlossen sein.
Für das bestimmen der Maxima und Minima solltest du die Lagrange Methode benutzen (entweder im Skript oder im Internet danach suchen)
Hat prima mit Lagrange funktioniert, vielen Dank. War dann doch leichter als gedacht^^
Genau, stetige Funktionen auf kompakten Intervallen haben stets ein Minimum und Maximum. Du hast schon richtig erkannt, die Ellipse ist eine kompakte Menge. Man sieht dass x und y beschränkt sind, weil zb x>=10 niemals drinne liegt, um die Abgeschlossenheit kann man auch direkt sehen weil wenn man für x und y konvergente Folgen einsetzt, bei den jedes Folgenglied in E liegt, dann erfüllt der limes weiterhin die Gleichung von E, also liegen limits auch in E
Allgemein berechnet man sowas mit dem Lagrange Ansatz, schau dir da am besten ein Video an