Mathematisches Dilemma?

Was ist die Wurzel von 1/i ?

Answer 1

[LoverOfPi]

$\frac{1}{i}=\frac{1}{e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)}}$ $\sqrt{\frac{1}{i}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{i}}=\frac{1}{e^{\frac{i}{2}\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)}}=\frac{1}{e^{\frac{i\pi}{4}+n\pi i}}$ $=\frac{1}{e^{i\left(\frac{\pi}{4}+n\cdot\pi\right)}}=\frac{1}{e^{i\cdot\left(\frac{\left(4n+1\right)\cdot\pi}{4}\right)}}$ Wobei wir 2 Lösungen, nämlich

$I.\ \frac{1}{e^{\frac{1}{4}\pi i}};\ II.\ \frac{1}{e^{\frac{5}{4}\pi i}}$ erhalten.

Wir betrachten die komplexen Nenner einzeln:

$e^{\frac{1}{4}\pi\cdot i}\rightarrow\ a=\cos\left(\frac{1}{4}\pi\right)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2};\ b=\sin\left(\frac{1}{4}\pi\right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ Jetzt kannst du damit z in der gewünschten Form berechnen, beide.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester

Answer 2

[scatha]

$\frac{1}{i}=\frac{i}{i\cdot i}=\frac{i}{-1}=-i$

-i steht im Einheitskreis auf 270° oder 3/4 Tau oder 3/2 Pi

Jetzt halbieren wir den Winkel was dem Ziehen der Quadratwurzel entspricht.

Das Ergebnis steht also auf der Winkelhalbierenden des Quadranten links oben.

Es entspricht der komplexen Zahl

$-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$

Proberechnung: Quadrieren des Ergebnisses

$\frac{1}{2}+2\cdot\left(-\frac{1}{2}i\right)+\frac{1}{2}i^2\ =\ \frac{1}{2}-i\ -\frac{1}{2}=\ -i\ =\ \frac{1}{i}$

Comments

[Willy1729]

Die andere Wurzel erhältst Du, wenn Du den zweiten Bruch subtrahierst statt addierst und aus dem ersten Minus ein Plus machst.

[scatha]

@Willy1729

Danke für den wichtigen Hinweis, hatte ich ganz vergessen. Es gibt natürlich zwei Lösungen der Gleichung x² = a, so wie es auch zwei Winkelhalbierende gibt, die sich direkt gegenüberstehen.

[Lösung 2] = 0 - [Lösung 1] = +0.707 - 0.707i

Gibt es eigentlich auch im komplexen Bereich so etwas wie eine "primäre Quadratwurzel" ?

Answer 3

[evtldocha]

Eine Lösung ist: $z=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1-i\right)$

Probe: $z^2=\frac{1}{2}\left(1-i\right)^2=\frac{1}{2}\left(1-2i+i^2\right)=-i=-\frac{i}{1}=-\frac{i^2}{i}=\frac{1}{i}$

Answer 4

[Enzi1]

1/i = i^(-1) = ((-1)^(1/2))^(-1), davon die Wurzel: (((-1)^(1/2))^(-1))^(1/2) = ((-1)^(1/2))^(-1/2) = (-1)^(-1/4) = sqrt(i)