Mathematik Parabeln benötige hilfe
Die Aufgabenstellung lautet so:
Ein Gegenstand wird aus einer Höhe von 2 m in die Luft geworfen. Mithilfe der Gleichung y=80t + 2 - 5t hoch 2 kann die erreichte Höhe h nach t Sekunden berechnet werden.
Wann hat der Gegenstand die maximale Höhe erreicht?
Mathe ist einfach nicht mein Ding. Deshalb bitte ich euch umbedingt um Hilfe. Es wäre sehr nett, wenn ihr mir den Lösungsweg ersichtlich machen könntet.
Thx :)
4 Antworten
Die Kurve geht nach oben dreht dann und dann fällt der Gegenstand wieder nach unten. Der höchste Punkt ist also dort, wo die Steigung = 0 ist (Steigung positiv = rauf, Steigung negativ = fallend). Die Steigung berechnet sich mit der ersten Ableitung.
Du musst also die Gleichung nach t ableiten (y') und dann 0 setzen.
So berechnest du t und dann ist der Gegenstand am höchsten. Wenn du dieses t dann in die Ausgangsgleichung einsetzt, weisst du sogar, wie hoch er maximal fliegt.
Ach ja, ersichtlich ist es da:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D80t%2B2-5t%5E2
da steht dann auch, was du als global maximum und wo erhalten solltest
entweder über die Ableitung...also Bedingung für eine Extremstelle ist: f'(t)=0 und f''(t0)<0 dann hast du zu 100% ein relatives Maximum :) Außerdem muss f'(t0) für wachsende t bei t0 von positiven zu negativen Werten wechseln! :) (Sprich Vorzeichenkriterium)
dann deine X-Koordinate in die Ausgangsgleichung eingeben....oder zeichnerisch mit dem GTR oder so :) oder mach dir eine Wertetabelle und gib es näherungsweise an...
y = 80t + 2 – 5t² daher y‘ = 80 – 10t = 0 → 10t = 80 → t = ?
Dies t in die erste Gleichung eingesetzt ergibt die maximale Höhe.
Das ist y', die Ableitung von y(t). Wenn man die = 0 setzt,
bekommt man das Maximum (oder Minimum).
Hattet ihr noch keine Differentialrechnung?
Andernfalls bringst Du die Gleichung auf Scheitelform:
y = - 5(t² - 16t) + 2 = - 5(t² - 16t + 64 - 64) + 2 = - 5([t - 8] - 64) + 2=
- 5(t - 8)² + 320 + 2 und erkennst den t-Wert des Scheitels t = 8.
Ne wir hatten noch keine Differentialrechnung :/
"Ableitung" sagt Dir nichts? Dann wirst Du Deinen Funktionsterm in die Scheitelpunktform umformen müssen; aus dieser (f(x) = a·(x-xs)² + ys) kannst Du die Koornidtane des Scheitelpunktes ablesen. Dann weißt Du, wann der gegenstand am höchstens war und wie hoch das war.
Ich arbeite mal für Dich:
f(x) = -5t² + 80t + 2 = -5 · [t² - 16t - 0.4] = -5 · [t² - 2·8t - 0.4] =
-5 · [t² - 2·8t + 8² - 8² - 0.4] = -5 · [(t - 8]² - 64,4] = -5(t - 8)² + 322
Also war der Gegenstand zum Zeitpunkt t = 8 am höchsten. Die Höhe: 322.
(Ein Gegenstand, der 322 m hoch fliegt? War's ein Vogel?)
Danke viel mal :) sehr nett und hilfreich!!
Ne es war ein Ball ;)
noch schnell ne Frage weshalb wird 80t zu 16?
Weil ich den Faktor (-5) ausgeklammert habe. Das ist erforderlich, damit man anschließend in der Klammer die quadratische Ergänzung durchführen kann - Vorbereitung auf die binomische Formel.
Danke erst mal für die Lösung :)
Ich komme jedoch nicht draus wie du auf y=80 - 10t =0 kommst