Mathe LGS und ganzrationale Funktionen lösen?
Hallo wir sind momentan an "Steckbrief Aufgaben" in die uns unser Lehrer blind hineingeworfen hat.
Die Aufgabe lautet: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse. Die x-Achse wird bei x=1 und die y-Achse bei y=9 geschnitten.
Wie lautet die Funktionsgleichung?
Erstmal habe ich mir alle nötigen Wörter und deren Bedeutung herausmarkiert:
Allgemeine Form f(x)= ax^4+bx^2+c
Anschließend hab ich diese Gleichung: 0= a+b+9 (wegen f(1)=0) f(0)=9 müsste dann ja 9=c sein um Additionsverfahren oder so zu machen, nur ist der Sinn des Auflösens ja, auf eine Unbekannte zu kommen...
Hat jemand eine Ahnung oder kann mir sagen wie banal das ist und das ich einfach nur verblendet bin?
8 Antworten
Hallo Lumpenjunge!
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse.
Du hast es bereits richtig erkannt. Die Funktion ist achsensymmetrisch und somit fallen alle ungeraden Exponenten mit Variable weg, also hier das eigentliche bx³.
f(x) = ax⁴ + bx² + c
Die x-Achse wird bei x=1 und die y-Achse bei y=9 geschnitten.
Damit hast du einmal eine Nullstelle bei x = 1 und einen y-Achsenabschnitt bei y = 9.
Gleichzeitig hast du ebenso eine Nullstelle bei x = -1, weil die Funktion ja achsensymmetrisch, also an der y-Achse gespielten ist.
In mathematischen Bedingungen sieht das so aus:
Nullstelle bei x = 1:
--> f(1) = 0
f(1) = a*1⁴ + b*1² + c
I. a+ b + c = 0
Das wäre deine erste Funktion.
Nullstelle bei x = -1:
--> f(-1) = 0
f(-1) = a*(-1)⁴ + b*(-1)² + c
II. a + b + c = 0
Diese Funktion ist also identisch zur 1. Funktion.
y-Achsenabschnitt bei y = 9
--> f(0) = 9
f(0) = a*0⁴ + b*0² + c
c = 9
Damit hast du die 3. Unbekannte bereits herausgefunden! Dir fehlt nun also nur noch a und b.
Wir haben also nun folgendes LGS:
I. a+ b + c = 0
II. a+ b + c = 0
III. c = 9
Das c könntest du auch weglassen.
Wenn ich das nun in meinen GTR eingebe erhalten wir logischerweise unendlich viele Lösungen:
a = -9 - b
b = b
c = 9
Das heißt für mich, du kannst dir bei b einen beliebigen Wert aussuchen.
Diesen musst du dann bei a noch einsetzen.
● ● ● ● Beispiel 1 ● ● ● ●
Nehmen wir als Beispiel mal b = -2:
a = -9 - (-2)
a = -7
b = -2
c = 9
Folgende Funktion ergibt sich daraus (siehe auch Bild 1):
►► f(x) = -7x⁴ - 2x² + 9
Es sind also unendlich viele Funktionen möglich!
● ● ● ● Beispiel 2 ● ● ● ●
b = -5
a = -9 - (-5)
a = -4
c = 9
►► f(x) = -4x⁴ - 5x² + 9
Siehe auch Bild 2.
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Bei Fragen und Anmerkungen kannst du dich einfach melden! :)
Liebe Grüße
TechnikSpezi
"Sauge" dir so viele Informationen aus der Aufgabenstellung raus wie möglich:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades
Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat folgende Form:
f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
Damit hast du schon mal ein Grundgerüst deiner Funktionsgleichung.
verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse.
Mathematisch bedeutet das, f(x) = f(-x), anschaulich, dass die Funktionsgleichung nur Glieder mit geraden Exponenten hat - denn wenn eine Zahl quadriert/mit 4/6/8/... potenziert wird, verlieren wir das Vorzeichen, da beispielsweise (-2)² = 2² - es ist egal, welches Vorzeichen die Basis hat(te).
Die Gleichung nur mit geraden Exponenten sieht so aus (0 ist gerade):
f(x) = ax⁴ + cx² + e
Die x-Achse wird bei x=1 [...] geschnitten
Ein Schnittpunkt mit der x-Achse ist eine Nullstelle, also gilt:
f(1) = 0 bzw. a + c + e = 0
und die y-Achse [wird] bei y=9 geschnitten.
Schnittpunkte mit der y-Achse liegen bei f(0), sie sind der Funktionswert an der Stelle x = 0.
Daraus folgt f(0) = 9 bzw. a*0⁴ + c*0² + e = 9 ⇔ e = 9
Also sind wir durch mit der Aufgabenstellung und haben:
f(x) = ax⁴ + cx² + 9 mit a + c = -9
Das sind zwei Gleichungen mit drei Unbekannten (f(x), a und c).
So ein Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar, es gibt unendlich viele Lösungen.
Wenn du eine Lösungsmenge mit den Lösungstupeln (a | c) für das Gleichungssystem angeben musst, dann ist das die folgende:
IL = {(a | c) | a + c = -9}
Es gibt aber keine eindeutige Lösungsfunktion für diese Bedingungen, sondern eine ganze Funktionsschar.
LG Willibergi
Wende Substitution an. Sprich für x^4 = a^2 und x^2 = a.
Das "a" ist hier nur eine andere variable, damit du die gleichung der sub. nicht mit der eigentlichen verwechselst. Ausrechnen, einsetzen, gleichsetzen. Fertig.
Aus deiner Gleichung 0=a+b+9 lässt sich ableiten, dass b=-a-9. Die Funktionsgleichung lautet also:
f(x) = ax^4 + (-a-9)x^2 + 9
f(x) = ax^4 - (a+9)x^2 + 9
Mit den gegebenen Informationen lässt sich dies nicht weiter vereinfachen. Anders ausgedrückt: man könnte hier jede beliebige reelle Zahl für a einsetzen, die Funktion würde immer alle gegebenen Bedingungen erfüllen.
f(x) = ax^4 + (-a-9)x^2 + 9
f(x) = ax^4 - (a+9)x^2 + 9 <- doofe Frage aber wieso sind hier die Vorzeichen anders?
-(a+9)
Hier steht ein - vor der Klammer. Das ist im Grunde nur eine Kurzschreibweise für (-1)*(a+9). Bei einer Multiplikation mit einer eingeklammerten Summe gilt das Distributivgesetz:
a*(b+c) = a*b+a*c
In diesem Fall:
(-1)*(a+9) 0 (-1)*a+(-1)*9 = (-a)+(-9) = -a-9
Es tut mir leid, aber irgendwie steh ich gerade derbe auf dem Schlauch mal(-1) hast du wegen Additionsverfahren gemacht?
Nein, das Additionsverfahren habe ich gar nicht verwendet. Wie gesagt lässt sich die Gleichung 0=a+b+9 nicht nach allen Variablen auflösen. Es hätte also gar keinen Sinn, das Additionsverfahren anzuwenden. Das einzige, was hier noch möglich ist, ist, von zwei Unbekannten zu einer zu kommen.
0=a+b+9
-9=a+b
-9-a=b
Das habe ich dann in die allgemeine Form für die Funktionsgleichung eingesetzt:
f(x)=ax^4+bx^2+9
f(x)=ax^4+(-a-9)x^2+9
Das ist im Wesentlichen alles. Die letzte Umformung hatte keinen wirklichen Effekt mehr, sie macht die Gleichung nur etwas schöner (finde ich zumindest):
f(x)=ax^4+(-9-a)x^2+9
f(x)=a^4-(9+a)x^2+9
Danke <3, bei sowas frage ich mich, wie ich eine 1 bekommen hab xD
Du hast noch einen Punkt: Bei -1 ist der y-Wert auch 0,
wegen der Achsensymmetrie. 3 Punkte, 3 Variablen.
Passt.
Super danke