Hilfe bei Steckbriefaufgabe Mathe?
Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Mathe Aufgabe:
der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur Y-Achse des Koordinatensystems. Die Wendepunkte liegen jeweils eine Einheit weit von der Y Achse und 3/2 Einheiten von der X Achse entfernt. Ihr relatives Maximum nimmt die Funktion im Punkt P (0|4) an.
Was ich schon habe:
f(x)= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
(1) W(1|1,5) f“(1)= 12a+6b+c=0
(2) HP(0|4) f‘(0)= d=0
(3) P(0|4) f(0)=e=4
(4)
(5)
Ist das schonmal richtig?
Nett wäre es auch noch, wenn mir jemand erklären könnte, wie man Achsensymmetrisch zur Y-Achse des Koordinatensystems aufschreibt, das weiß ich nämlich nicht.
Vielen Dank im voraus
3 Antworten
achsensymmetrisch zur Y-Achse ist eine Funktion, wenn sie nur gerade Exponenten hat
Also in deinem Fall f(x) = ax^4 + bx^2 + c
f(0) = 4 -> c=4
f(x) = ax^4 + bx^2 + 4
den Rest schaffst du wohl alleine.
Dies ist eine Aufgabe,wo man Spezialwissen braucht,wie ich es habe.
Symetrisch zur y-Achse bedeutet, "gerade Exponenten"
das führt auf die Form y=f(x)=a4*x^4+a2*x^2+ao
Mit "Maximum" bei xmax=0 und ymax=4 ergibt
a4*0^4+a2*0^2+ao=4 also ist ao=0
bleibt
f(x)=a4*x^4+a2*x^2+4 abgeleitet
f´(x)===4*a4*x^3+2*a2*x noch mal abgeleitet
f´´(x)=0=12*a4*x^2+2*a2
mit den Daten ergibt sich das "lineare Gleichungssystem" (LGS)
1. 1^4*a4+1^2*a2=-5/2 weil bei x=1 y=3/2 ist und ao=4 also 3/2-4=-5/2
2. 1^2*12*a4+2*a2=0 aus f´´(x)=0 Wendepunkt bei xw=1 (yw=3/2)
Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) a4=0,5 a2=-3
gesuchte Funktion y=f(x)=0,5*x^4-3*x^2+4
Probe: x=1 ergibt f(1)=0,5/1^4-3*1^2+4=1,5 also 3/2
Maximum f´(x)=0=4*0,5*x^3-3*2*x Nullstelle bei x=0
Maximum mit f´´(x)<0 f´´(x)=12*a4*x^2+2*a2 mit x=0 und a2=-3
ist f´´(x)<0
weil achsensymmetrisch fällt bx³ und dx weg.