Frage von Domitrix, 21

Steckbriefaufgabe in Mathe?

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch den Ursprung, geht durch den Punkt P(1/-1) und hat an der Stelle x=2 einen Extrempunkt. Wie stelle ich hierzu die 4 nötigen Bedingungen auf? Bitte helft mir...

Antwort
von fjf100, 4

f(x)=a3 *x^3 +a2 *x^2 +a1 *x +ao

Bedingung durch den Ursprung also x=0 y=0 ergibt ao=0

abgeleitet f´(x)= 3*a3 *x^2 +2 *a2 *x + a1

Dies ergibt ein "lineares Gleichungssystem " (LGS) mit 3 Unbekannte und 3 Gleichungen

1. a3 *1^3 + a2 *1^2 +a1 *1 = - 1 aus P(1/-1)

2, a3 *3*2^2 +a2 *2 *2 +1*a1=0 aus den Extrempunkt x=2

3. a3 * 3 *(-2)^2+a2*2*8-2)+1 *a1= 0 aus den 2.ten Extrempunkt x=-2

Dies schreiben wir um in ein LGS

1. 1*a3 + 1*a2 +1*a1= - 1

2. 12 *a3 +4*a2 + 1*a1=0

3. 12*a3 -4*a2+1*a1= 0

Lösung mit meinen Graphikrechner (casio) a3=0,0905 u.a2=0 u. a1=-1,09

ergibt die Funktion f(x)= 0,0905 *x^3 - 1,09 *x

Hinweis : f(x)= a3 *x^3+a2 *x^2 +a1*x abgeleitet

f´(x)= 3*a3 *x^2 +2*a2 *x + a1 ist eine Parabel

Normalform 0= x^2 + p *x + q Lösung mit p-q-Formel

2 reelle Nullstellen x1 und x2

Mit den Extrempunkt x= 2 ist eine reelle Nullstelle gegeben und automatisch auch die  2.te x2= - 2

Beispiel x1,2= Wurzel( 25) ergibt x1= 5 und x2=-5 

Der selbe Sachverhalt liegt hier beim Extrempunkt x=2 vor !!

Antwort
von CrEdo85wiederDa, 8

f(0)=0
f(1)=-1
f'(2)=0

Kommentar von Willy1729 ,

Das ist eine Gleichung zu wenig, denn Du hast es mit vier Unbekannten zu tun. Die Aufgabe ist mit diesen Angaben nicht eindeutig lösbar.

Kommentar von CrEdo85wiederDa ,

Nein, aber damit kommst du auf ein Funktionsschar, mit dem du die Lösungen bestimmen kannst (z.B. a=2, b=7 c=-10, d=0). Für eine eindeutige Lösung fehlt in der Aufgabenstellung noch eine Bedingung.

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