STECKBRIEFAUFGABE: KANN JEMAND EINE LÖSUNG DAFÜR FINDEN BIN WIRKLICH VERZWEIFELT?
Ich habe diese Steckbriefaufgabe tausendmal durchgerechnet, bin aber nicht aufs richtige Ergebnis gekommen.. die lautet: Der zum Ursprung punktsymmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion siebten Grades besitze einen Sattelpunkt bei S(0/0) ein relatives Minimum im Punkt T (-1/-18) und schneide die x Achse im Punkt N(2/0)... schreibe eine Klausur und brauche dringend hilfe weil die Aufgabe total widersprüchlich ist..
3 Antworten
Aus der Symmetrie folgt:
f(x) = a*x^7 + b*x^5 + c*x^3 + d*x
f´(x) = 7ax^6 + 5bx^4 + 3cx^2 + d
f´´(x) = 42a*x^5 + 20bx^3 + 6cx
f´´´(x) = 210a*x^4 + 60bx^2 + 6c
Da Sattelpunkt bei x = 0 folgt:
f´(0) = 0 ---> d = 0
Dadurch erhalten wir schon mal:
f(x) = ax^7 + bx^5 + c*x^3
f´(x) = 7ax^6 + 5bx^4 + 3cx^2
f´´(x) = 42a*x^5 + 20bx^3 + 6cx
f´´´(x) = 210a*x^4 + 60bx^2 + 6c
Mit dem Minimum folgt:
f´(x = -1) = 0
--> 7a + 5b + 3c = 0
Ebenso folgt:
f(-1) = -18 = (-a) - b - c
Die letzte benötigte Gleichung erhalten wir über die Nullstelle:
f(x = 2) = 0 = a2^7 + b2^5 + c2^3
Wir erhalten insgesamt folgendes lineare Gleichungssystem:
7a + 5b + 3c = 0
(-a) - b - c = -18
a2^7 + b2^5 + c2^3 = 0
Dieses LGS lässt sich nun einfach nach a,b,c lösen. Ich werde an der Stelle aus Faulheit Wolfram Alpha benutzen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=7a+%2B+5b+%2B+3c+%3D+0+and++(-a)+-+b++-+c+%3D+-18+and+a2%5E7+%2B+b2%5E5+%2B+c*2%5E3+%3D+0
Die Lösungen sind dort unter "Solution" abzulesen. Es folgt:
a = 7
b = -41
c = 52
Somit lautet also die gesuchte Funktion:
f(x) = 7x^7 - 41x^5 + 52x^3
Respekt. Ich könnte nicht unterscheiden,ob das totaler Humbug ist oder aus dem Ärmel geschüttelte Genialität. Ich finde es immer wieder erstaunlich,welche Begabungen es gibt. Mathe und ich fanden nie zusammen. Ein gelingendes Leben für Dich.
Schon die Weltformel im Blick? :)
Dankeee an alle :) hatte genau die selben Ansätze hab an einer Stelle nur falsch eingesetzt..
f(x)=ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex³+fx²+gx+h
Punktsymmetrie: b=d=f=h=0
f(0)=0
f'(0)=0
f''(0)=0
f(-1)=-18
f'(-1)=0
f(2)=0
Symetrisch zum Ursprung Bedingung f(x)=-1*f(-x)
Bedingung "ganzrationaler Funktion",das diese "zentralsymetrisch" sind.
y=x^(2*n-1) mit n=1,2,3,4,,,
y1=x^(2*4-1)=x^7 und y2=x^(2*3-1)=5 und y3=x^(2*2-1)=3 und
y4=x^(2*1-1)=x^1
gesuchte Funktion y=f(x)=a7*x^7+a5*x^5+a3*x^3+a1*x
abgeleitet f´(x)=0=7*a7*x^6+5*a5*x4+3*a3*x^2+a1
1. (-1)*a7+(-1)*a5+(-1)*a3+(-1)*a1=-18 aus T(-1/-18)
2. 2^7*a7+2^5*a5+2^3+1*a1=0 aus Nullstelle x=2 y=0
3. (-1)^6*a7+(-1)^4*a5+(-1)^2*a3+1*a1=0 aus f´(-1)=0 Tiefpunkt
Wir sehen hier ,daß mit den Angaben a1 nicht berechnet werden kann.
Deshalb setzen wir a1=0 Die Angaben Sattelpunkt bei Ps(0/0) bringen keine 4.te Gleichung.
Es bleiben 3 Gleichungen mit 3 unbekannte a7,a5 und a3
1. (-1*a7-1*a5-1*a3=-18 aus T(-1/-18)
2. (-1)^6*a7+(-1)^4*a5+(-1)^2*a3=0 aus f(x) und T(-1)/-18) x=-1
3. 128*a7+32*a5+8*a3=0 aus f(2)=... der Nullstelle x=2
Lösung des "linearen Gleichungssystems" LGS mit meinen Graphikrechner,Casio:
a7=7 und a5=-41 und a3=52
Gesuchte Funktion y=f(x)=7*x^7-41*x^5+52*x^3
Nullstellen bei x1=-2 u. x2=-1,36.. u. x3=0 u. x4=1,36.. u. x5=2
Maxima bei x1max=-1,784.. y1max=43,059..
x2max=1 y2max=18
Minima bei x1min=-1 y1min=-18
x2min=1,784.. y2min=-43,059..
Bedingung für "achssymetrisch" (y-Achse) wäre f(x)=f(-x)
mit y=x^(2*n) mit n=1,2,3,4..