Steckbriefaufgaben ohne Taschenrechner?
Guten Abend, Leider war ich letzte Stunde nicht da und mein Lehrer wollte es mir nicht erklären. Das Internet spuckt leider auch nichts aus. Wie kann ich im hilfsmittelfreien Teil in einer Klausur (also ohne Taschenrechner) Steckbriefaufgaben lösen? Ich sitze an folgender Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades besitzt im Punkt T(0/0) einen Tiefpunkt und im Punkt W(1/2) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung.
Vielen Dank im Voraus!
5 Antworten
Fürs reine Rechnen reichen meist die Kenntnisse des kleinen und großen 1 * 1 aus. Den ganzen anderen Kram (Wie leitet man ab, wann hat man einen Wendepunkt etc) habt ihr im Unterricht gehabt.
Das Internet spuckt einiges aus. Unter anderem das hier:
Also ist das Lösen des Gleichungssystems das Problem, vor dem Du stehtst?
Im Prinzip ist das auch nicht so schwer. Aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten machst Du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten usw, bis Du eine Unbekannte gelöst hast. Und die setzt Du dann immer in die vorherggehende Gleichung ein.
Hallo Elinanm!
Steckbriefaufgaben haben erstmal immer 2 Aufgabenfelder, die du abhandeln musst,
1. Aus der Steckbriefaufgabe die mathematischen Bedingungen herausfinden und daraus dann ein lineares Gleichungssystem (LGS) machen.
2. Das lineare Gleichungssystem (LGS) mit einem Verfahren lösen. Dazu brauchst du bei ganzrationalen Funktionen fast immer den Gauß-Algorithmus.
Kommen wir mal zu deiner Aufgabe:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades besitzt im Punkt T(0/0) einen Tiefpunkt und im Punkt W(1/2) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung.
● ● ● Schritt 1: Text in mathematische Bedingungen schreiben ● ● ●
"ganzrationalen Funktion 3. Grades"
--> f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Das heißt für dich, wir haben 4 Unbekannte und brauchen dementsprechend erstmal grundsätzlich 4 Funktionen, um später das LGS zu lösen.
▬ ▬ ▬ ▬ "Punkt T(0|0)" ▬ ▬ ▬ ▬
--> f(0) = 0
Da kannst du dann übrigens gleich schon darauf kommen, dass d=0 ist.
Setze dazu ganz einfach in die obige Bedingung ein:
f(0) = a*0³ + b*0² + c*0 + d
0 = d
►► d = 0
Damit hast du eine Unbekannte bereits bestimmt.
Weiter geht es:
▬ ▬ ▬ ▬ "im Punkt T(0|0) einen Tiefpunkt" ▬ ▬ ▬ ▬
--> f'(0) = 0
Gleiches hier wieder. Nun musst du aber vorher die Funktion ableiten, anschließend 0 einsetzen und schon hast du die nächste Unbekannte berechnet.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f'(0) = 3a*0² + 2b*0 + c
0 = c
►► c = 0
Du kannst dir im weiteren Verlauf also sparen, c und d mit einzubeziehen!
Weiter geht's:
"Punkt W(1|2)"
--> f(1) = 2
f(1) = a*1³ + b*1²
►► 2 = a + b
▬ ▬ ▬ ▬ "Im Punkt W(1|2) einen Wendepunkt" ▬ ▬ ▬ ▬
--> f''(1) = 0
Dazu müssen wir erneut ableiten, dieses mal brauchen wir die 2. Ableitungsfunktion:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
Nun setzen wir ein:
f''(1) = 0
6a*1 + 2b = 0
►► 0 = 6a + 2b
____________________________________________________
Jetzt müssen wir einmal das lineare Gleichungssystem aufstellen:
I. 0 = a + b
II. 0 = 6a + 2b
Mehr Funktionen benötigst du nicht mehr, weil wir die Unbekannten c und d ja bereits bestimmt haben.
● ● ● Schritt 2: LGS lösen ● ● ●
Für die beiden Funktionen kannst du noch viel einfacher das Einsetzungsverfahren oder Gleichsetzungsverfahren nutzen. Aber auch z.B. das Additionsverfahren funktioniert natürlich.
Ich nutze hier nun mal das Gleichsezungsverfahren.
Dazu berechnen wir für beide Funktionen jeweils eine Variable. Die Ergebnisse setzen wir dann gleich und formen zur übrigen Variable um.
Ich stelle nun mal beide Funktionen zur Variable b um. Damit sparen wir uns auch einen Bruch!
I. 2 = a + b | -a
I. b = 2 - a
______________
II. 6a + 2b = 0 | -6a
II. 2b = -6a | : 2
III. b = -3a
Nun setzen wir die Gleichungen gleich und stellen zur übrigen Variable a um:
2 - a = -3a |+a
2 = -2a |:2
a = -1
►► a = -1
Jetzt müssen wir noch in eine der beiden Funktionen das a=-1 einsetzen:
2 = a + b
2 = -1 + b |+1
►► b = 3
__________________________________________________________
Jetzt fassen wir alles nochmal zusammen und machen daraus eine ganzrationale Funktion 3. Grades:
► a = -1
► b = 3
► c = 0
► d = 0
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
► ► ► f(x) = -x³ + 3x²
Diese Funktion findest du auch nochmal im Bild!
__________________________________________________________
Ich hoffe mein großer Aufwand von ca. 1 Stunde hat sich gelohnt! :)
Bei Fragen und Anregungen einfach melden! Achte auf Fehler, die bei solchen Texten gerne mal unterkommen.
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Eine Funktion dritten Grades besteht aus ax³+bx²+cx+d.
Erste Ableitung: 3ax²+2bx+c
Zweite Ableitung: 6ax+2b
d muss 0 sein, damit du bei T(0/0) auf Null kommt.
Der Anstieg im Tiefpunkt ist Null, um auf diesen zu kommen muss c in der ersten Ableitung 0 sein.
Dann könnte man vielleicht ein gleichungssystem bilden:
2=a(1)³+b(1)²
0=6a*1+2b
So bekommt man dann a und b raus.
Bin mir nicht sicher ob alles 100% richtig ist.
Ich habe für diese Aufgabe keinen TR verwendet:
(x) = ax³ + bx² + cx + d
1. Bedingung:
T (0/0) liegt auf f(x)
f(0) = 0
... (x = 0 einsetzen und = Null setzen)
=> d = 0
2. + 3. Bedingung:
T(0/0) ist Tiefpunkt
f'(0) = 0 und f''(0) > 0
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² +2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'(0) = 0
... (x = 0 einsetzen und = Null setzen)
=> c = 0
f''(0) > 0
6ax + 2b > 0 Ungleichung (benötigen wir nur vielleicht)
Zwischenstand:
Mit den bisherigen Ergebnissen (c=0; d=0) ist
f(x) = ax³ + bx²
f'(x) = 3ax² +2bx
f''(x) = 6ax + 2b
4. + 5 Bedingung:
Punkt W(1/2) ist Wendepunkt.
4. Bedingung ist also W liegt auf f(x)
f(1) = 2
a*1³ + b*1² = 2
a = 2 - b
5. Bedingung
W(1/2) ist Wendepunkt
f''(1) = 0 und f'''(1) ungleich Null
f''(x) = 6ax + 2b
0 = 6*a*1 + 2*b
Einsetzen von a = 2 - b in die Gleichung
0 = 6*(2-b) + 2*b
0 = 12 -6b + 2b |+4b
4b = 12 |:4
b = 3
Einsetzen von b = 3 in a = 2 - b
a = 2 - 3 = -1
Endergebnis:
f(x) = -x³ + 3x²
Hallo Elinanm,
das Lösen linearer Gleichungssysteme wird in der Sekundarstufe I ausreichend behandelt. Man sieht also vielleicht, dass sog. "Bulimielernen" in der Mathematik nichts nützt: Irgendwann braucht man den alten Stoff zwingend wieder.
Davon mal abgesehen ist der Text erstmal in seine mathematischen Teile zu zerlegen. Das macht man am besten stückweise:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades...
--> Ansatz:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
...besitzt im Punkt T(0/0) einen Tiefpunkt...
--> f(0)=0 --> 0=a*0³+b*0²+c*0+d --> I. d=0
--> f'(0)=0 --> 0=3a*0²+2b*0+c --> II. c=0
--> Neuer Ansatz: f(x)=ax³+bx²
...und im Punkt W(1/2) einen Wendepunkt.
--> f(1)=2 --> 2=a*1³+b*1² --> III. 2=a+b
--> f''(1)=0 --> 0=6a*1+2b --> IV. 0=6a+2b
Um die Funktionsgleichung der Form f(x)=ax²+bx bestimmen zu können, nutzt man nun die zwei übrig gebliebenen Gleichungen und löst:
I. 2=a+b | -b
II. 0=6a+2b
I. 2-b = a | in II einsetzen
II. 0=6a+2b
--> 0=6*(2-b)+2b
0=12-6b+2b
0=12-4b | +4b
4b=12 | :4
b=3 | in I einsetzen
2-3=a
a=-1
--> f(x)=-x³+3x²
...und ob das stimmt, lasse ich dich nun selbst rausfinden. Punktprobe(n) machen und überprüfen, das schaffst du.
Dieses Video habe ich mir bereits angeguckt. Jedoch wird dort mit GTR gerechnet und nicht die einzelnen Rechenschritte erklärt, wo man a,b,c+d herausrechnen kann.