Was sind die Bedingungen (Steckbriefaufgabe)?
Hi,
ich muss eine Matheaufgabe lösen die so lautet:
Eine ganzrationale Funktion 4. Grades verläuft durch den Punkt P(-2/4) und besitzt im Ursprung des Koordinatensystem ein relatives Minimum. Die Steigung der Tangente an der Stelle Nullstelle x=-1 beträgt 3.
Jetzt brauche ich ja die Bedingungen um die Gleichung zu lösen. Eine davon ist ja einfach der gegebene Punkt aber ich verstehe das mit dem Minimum und der Steigung nicht. Kann mir jemand das erklären bzw in welche Formel (Ausgangsformel, Ableitung oder 2. Ableitung) muss ich das einsetzten? Und brauche ich 3 oder 4 bedingungen?
Danke im voraus
4 Antworten
Eine ganzrationale Funktion 4. Grades
Du hast die Grundgleichung:
f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
Und brauche ich 3 oder 4 bedingungen?
Du hast damit Unbekannte (die Buchstaben), die du alle nicht kennst. Um sie alle zu berechnen, brauchst du auch grundsätzlich 5 Bedingungen!
Nun zu den Bedingungen selbst:
verläuft durch den Punkt P(-2/4)
- f(-2) = 4
besitzt im Ursprung des Koordinatensystem ein relatives Minimum.
Einmal geht die Funktion durch den Usprung und damit durch den Punkt U(0|0). Damit ergibt sich die Bedingung
- f(0) = 0
Wenn du das einsetzt, fallen alle Buchstaben bis auf e weg.
f(0) = 0 + 0... +e
Da die Bedingung f(0) = 0 ist, kannst du nun statt f(0) auch 0 schreiben.
0 = e
Damit hast du bereits einen Buchstaben berechnet. Die Konstante am Ende, die das e gewesen wäre, fällt also einfach weg!
Da du nun ein relatives Minimum, also einen Tiefpunkt im Ursprung hast, gilt die notwendige Bedingung für einen Tiefpunkt:
- f'(x) = 0
Denn du weißt: Ein Extrempunkt hat immer die Steigung m=0. Die Steigung gibt die Ableitung an. Daher kommt die Bedingung.
Die Steigung der Tangente an der Stelle Nullstelle x=-1 beträgt 3.
Die Nullstelle liebt bei x=-1. Da es eine Nullstelle ist, ist der dazugehörige y-Wert natürlich y=0. Daraus ergibt sich also der Punkt N1(-1|0). Als Bedingung:
- f(-1) = 0
Die Tangente hat die Steigung m=3. Eine Tangente gibt die Steigung in dem Punkt an. Die Ableitung ist ja auch die Tangentensteigung. Würdest du also die Ableitung bilden und -1 für x einsetzen, käme 3 raus. Das ergibt folgende Bedingung:
- f'(-1) = 3
Damit hast du nun auch 5 Bedingungen, womit du die Funktion berechnen kannst.
Bei weiteren Fragen helfe ich gerne! :)
Liebe Grüße
TechnikSpezi
f(x)=a4*x⁴+a3*x³+a2*x²+a1*x+ao Minimum bei xmin=0 und ymin)=0 ergibt
ao=0 bleibt
f(x)=a4*x⁴+a3*x³+a2*x²+a1*x abgeleitet
f´(x)=4*a4*x³+3*a3*x²+2*a2*x+a1 minimum bei xmin=0 also f´(0)=0 ergibt auch a1=0
bleibt
- a4*(-2)^4+a3*(-2)^3+a2*(-2)^2=4 aus den Punkt P(-2/4)
- a4*(-1)^4+a3*(-1)^3+a2*(-1)^2=0 aus der Nullstelle x=-1
- 4*a4*(-1)^3+3*a3*(-1)^2+2*a2*(-1)=3 aus f´(-1)=m=3
dieses LGS schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit.
- 16*a4-8*a3+4*a2=4
- 1*a4-1*a3+1*a2=0
- -4*a4+3*a3-2*a2=3
Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) a4=4 u. a3=11 u. a2=7
gesuchte Funktion f(x)=4*x⁴+11*x³+7*x²
Probe : abgeleitet f´(-1)=16*(-1)^3+33*(-1)^2+14*(-1)=m=3
Prüfe auf Rechen-u. Tippfehler.
f(x)=ax^4+bx³+cx²+dx+e
P(-2|4) f(-2)=4 16a-8b+4c-2d+e=4
f(0)=0 e=0
f'(0)=0 f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d d=0
f(-1)=0 a-b+c-d+e=0
f'(-1)=3 -4a+3b-2c+d=3
Du hast den Punkt P.
Zudem geht die Funktion Punkt (0/0) (Koordinatenursprung) und durch den Punkt (-1/3).
Die Ableitung der Funktion hat bei x=0 den Wert 0 und bei x= -1 den Wert 3.
Die Funktion lautet allgemein:
f (x)=a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e
Du brauchst also 5 Bedingungen für a, b, c, d und e.
Da ist leider ein Fehler drin.
In der Aufgabe steht:
Die Steigung der Tangente an der Stelle Nullstelle x=-1 beträgt 3.
Du ziehst daraus den Schluss:
Zudem geht die Funktion Punkt (0/0) (Koordinatenursprung) und durch den Punkt (-1/3).
Das ist allerdings falsch. An der Stelle x=-1 hat sie ja eine Nullstelle. Somit muss der dazugehörige y-Wert sowieso y=0 sein, sonst wäre es keine Nullstelle.
Die Steigung der Tangente ist 3 bedeutet, dass die Ableitung an der Stelle 3 ist, wie du später auch korrekt sagst.