Mathe (Integral-/Flächenberechnung) - wo ist mein Fehler?
Aufgabe: Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x) = x³ - 3x² und g(x) = x - 3. Die Schaubilder von f und g schließen mit der x-Achse im 4. Feld eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt.
Ich hab das schon vorbereitet:
Frage: warum krieg ich 2,25 raus? Die Fläche sieht größer aus.. Was bekommt ihr raus? Habe erst f(x) - g(x) integriert und dann F(3) - F(0) berechnet..
5 Antworten
Hallo,
da sich die beiden Funktionsgraphen bei x=1 schneiden, bekommst Du für die Fläche von 0 bis 1 ein anderes Vorzeichen als für die Fläche von 1 bis 3.
Wenn Du einfach von 0 bis 3 durchintergierst, berechnest Du die Differenz zwischen den beiden Flächen, aber nicht die Gesamtfläche.
Du mußt zunächst die Fläche von 0 bis 1 berechnen, dann die von 1 bis 3 und anschließend die Beträge dieser Flächen (negatives Vorzeichen weg!) addieren.
Meine Antwort bezieht sich auf die Fläche zwischen beiden Funktionen im vierten Quadranten. Nach dieser Fläche ist aber nicht gefragt. Es geht um die beiden Flächen zwischen f(x) und der x-Achse von 0 bis 1 und zwischen g(x) und der x-Achse von 1 bis 3.
Das sind 0,75+2=2,75 FE.
Herzliche Grüße,
Willy
Zur Kontrolle: Die Fläche im vierten Quadranten zwischen beiden Funktionen umfaßt 4 FE. Aber siehe Antwort von Rhenane. Wenn die Fläche zwischen den beiden Funktionen und der x-Achse gemeint ist, rechnest Du für 1 bis 3 nur das Dreieck hinzu.
Meine Antwort bezog sich auf die Fläche zwischen beiden Funktionen und nicht auf die Fläche zwischen den Funktionen und der x-Achse.
Du rechnest also im Intervall von x=0 bis x=1 x-Achse minus f(x) und im Intervall von x=1 bis x=3 x-Achse minus g(x).
Da in diesem Fall beide Graphen unterhalb der x-Achse verlaufen, bekommst Du natürlich in beiden Fällen negative Flächen heraus, von denen als Ergebnis aber nur der Betrag interessiert.
Du kannst auch f(x) minus x-Achse und g(x) minus x-Achse rechnen, dann bekommst Du sofort positive Flächen.
Oh... Ich dachte, dass der Flächeninhalt zur x-Achse gesucht ist.^^'
Danke für die schnelle Antwort. ^^"
Ist er ja auch. Ich hatte die Aufgabenstellung nicht ganz gelesen.
Es geht um die Fläche zwischen den beiden Funktionen und der x-Achse im vierten Quadranten. Da zwischen 0 und 1 die Funktion f(x) über g(x) liegt, geht es in diesem Bereich um die Fläche zwischen f(x) und der x-Achse. Zwischen 1 und 3 liegt g(x) oben, es geht hier also um die Fläche zwischen g (x) und der x-Achse.
Für diese Fläche ist keine Integralrechnung nötig, da es sich um eine schliechte Dreiecksfläche handelt, nämlich um das halbe Produkt der Längen der beiden Katheten (2*2)/2=2FE.
Nur für die Fläche zwischen f(x) und x-Achse ist Integralrechnung nötig.
Da die x-Achse die Funktion y=0 hat, brauchst Du zwischen 0 und 1 nur f(x) zu integrieren.
Vielen lieben Dank 😊 In der Klausur kam zum Glück nur dran: Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Schaubild der Funktion f mit f(x) = 3sin(x) im Intervall [0;π] eingeschlossen wird. Musste dann nur rechnen:
- 3cos(π) - (- 3cos(0)) = 6 FE
Ich dachte, unser Lehrer würde eine dran bringen wie die, die ich hochgeladen hab 😅
Ich habe "-2,75" raus, ...
aber ich bin mir nicht sich ob ich die Frage richtig verstanden Habe, aber so würd ich das machen.
Wir zerlegen die Flächeninhalte in den Flächeninhalt von der Geraden zur x-Achse und der anderen Polynomfunktion zur x-Achse.
Teil 1: Das Dreieck
Die Gerade bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit der x-Achse also gilt:
A_{Dreieck} = Kathete_{1} * Kathete_{2} / 2
A_{Dreieck} = 2 * -2 / 2
A_{Dreieck} = -2
Alternativ können wir das auch mit Integrale berechnen:
A_{Dreieck} = int from{1} to{3} = G(3) - G(1)
G(x) = 0,5x² − 3x + c
G(3) = 4,5 − 9 + c = -4,5 + c
G(1) = 0,5 − 3 + c = -2,5 + c
A_{Dreieck} = = -4,5 + c - (-2,5 + c)
A_{Dreieck} = = -4,5 + c + 2,5 - c
A_{Dreieck} = = -4,5 + 2,5 + c - c
A_{Dreieck} = = -2
Teil 2: Die andere Polynomfunktion
Dann berechnen wir noch mit den Integral den Flächeninhalt der Polynomfunktion:
A_{Poly...} = int from{0} to{1} = F(1) - F(0)
F(x) = 0,25x⁴ − x³ + c
F(1) = 0,25 − 1 + c = -0,75 + c
F(0) = 0 − 0 + c = c
A_{Poly...} = -0,75 + c - c
A_{Poly...} = -0,75
Teil 3: Zusammenrechnen
Halt zusammenrechnen:
A = A_{Poly...} + A_{Dreieck}
A = -0,75 + -2
A = -2,75
Also ist es -2,75..., demnach wäre Ihr Ergebnis zu hoch.
Mit Deiner Rechnung hast Du die Flächen zwischen den Graphen im Bereich 0 bis 3 berechnet. Und da in beiden Teilflächen einmal g und einmal f größer ist, haben die Flächen unterschiedliche Vorzeichen, d. h. sie werden voneinander abgezogen.
Um die Flächen zwischen den Graphen richtig zu berechnen, müsstest Du von 0 bis 1 (der Schnittstelle der Graphen) und von 1 bis 3 separat integrieren.
Da aber laut Aufgabenstellung die Fläche zwischen Graphen und x-Achse gesucht ist, musst Du von 0 bis 1 f integrieren und von 1 bis 3 g, bzw. g von 1 bis 3 ist ein Dreieck, da braucht man keine integrslrechnung.
Erstmal genau überlegen, welche Fläche gemeint ist. Nach oben wird die Fläche durch die x-Achse begrenzt, nach unten links (von x=0 bis x=1) durch die Funktion f, nach unten rechts (x=1 bis x=3) durch die Funktion g. Wenn du diese Fläche meinst, dann trügt dein Gefühl dich nicht, die Fläche ist größer.
Es gibt keine Bereich, wo es um eine Fläche geht, die ZWISCHEN den beiden Funktionsgraphen liegt, aber nur für solche Flächen ist der Ansatz mit g(x) - f(x) und dann integrieren überhaupt sinnvoll (außerdem muss man da dann oft stückweise integrieren, wenn die Funktionen Schnittpunkte haben).
Hier kann man einfach rechnen:
Und da kommt 2,75 heraus.
Deine Grenzen sind 3 und 1, die Schnittpunkte der beiden Funktionen
Guten Tag!
Ich hätte da ne Frage. :')
Warum ist es denn nicht Negativ?
Beide Summanten sollten doch negativ sein, oder nicht?
Ich habe da:
bzw.
und
->
Habe ich was falsch gemacht? Owo