Wert des Integrals positiv, negativ oder gleich Null?
Hello :)
Also zu diesem Thema weiß ich, dass eine Fläche oberhalb der x-Achse positiv ist, unterhalb negativ und wenn zwei gleich große Stücke ober- und unterhalb sind, das Integral Null ist.
Wie sieht es aber aus mit einer Fläche zwischen zwei Funktionen?
Ändert es was, wenn sie ober-/unterhalb der x-Achse ist oder einfach inmitten der x-Achse (also unten und oben)?
Also es geht hier darum, dass man anhand der Funktion und einer Skizze bestimmen soll, wie das Integral ausfällt. Keine Rechnung.
Help :(
3 Antworten
Hallo,
eigentlich ist es immer eine Fläche zwischen zwei Funktionen, denn die x-Achse ist auch eine Funktion: f(x)=0.
Ob die Fläche positiv oder negativ ausfällt, hängt davon ab, welche Funktion von welcher abgezogen wird. Ziehst Du die Funktion, die unterhalb der anderen verläuft, von der ab, die oberhalb verläuft, bekommst Du eine positive Fläche.
Natürlich kann es passieren, daß zwei Funktionen die Plätze tauschen, daß also die Funktion, die zunächst oben lag, die andere schneidet und danach zur unteren wird. Deswegen integriert man immer nur von Schnittstelle zu Schnittstelle, damit sich Flächen nicht gegenseitig aufheben.
Wenn Du zwei Funktionen hast, von denen keine die x-Achse ist, spielt es bei der Berechnung der Fläche zwischen ihnen keine Rolle, ob die x-Achse dazwischen verläuft oder nicht. Wenn Du die Fläche zwischen f(x)=4-x² und der x-Achse berechnest, wäre es ja auch egal, ob da noch eine Funktion g(x)=x³ eingezeichnet würde. Um die würde es ja in diesem Moment gar nicht gehen.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn es um die Fläche zwischen zwei Graphen geht, meine ich in Erinnerung zu haben, dass sie immer positiv als Betrag angegeben wird. Oberhalb ist es ja logisch, unterhalb kommt der Betrag | | ins Spiel. Inmitten sind es dann 'quasi' zwei Integrale (jeweils oberhalb und unterhalb) die dann mit dem Betrag berechnet werden. Da eine Fläche grundsätzlich ja nicht negativ sein kann (wäre fast wie ein schwarzes Loch hahah)
Wie sieht es aber aus mit einer Fläche zwischen zwei Funktionen?
Genauso, bloß dass jetzt g(x) die Funktion der x-Achse übernimmt. Die spielt nun keinerlei Rolle mehr.
Beispiel:
Das Integral
∫f(x) - g(x)
ist zwischen -0,8 und 2 positiv, weil f(x) oberhalb von g(x) verläuft und negative von 2 bis 3,3, weil f(x) unterhalb von g(x) verläuft.
